Question

19．如圖，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°到△ADE的位置，連接BD并延長交AE于F．
（1）求線段BD的長；
（2）求在旋轉(zhuǎn)過程中所形成的$\widehat{CD}$，$\widehat{BE}$與線段BC，DE所圍成的陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）如圖，作輔助線；首先運用勾股定理求出AB的長度；證明△ABE是等邊三角形，進而證明B、D兩點均在線段AE的中垂線上，得到∠BFA=90°，此為解決問題的關(guān)鍵性結(jié)論；運用直角三角形的邊角關(guān)系即可解決問題．
（2）運用分割轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為S_扇形ABE與S_扇形ADC的之差，借助扇形的面積公式，即可解決問題．

解答 解：（1）連接BE．
∵∠C=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$
∴∠BAC=∠ABC=45°，$AB=\sqrt{A{C^2}+B{C^2}}=2$；
∵將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，
∴AE=AB=2，DE=AD=AC=$\sqrt{2}$，
∠BAE=∠CAD=60°，∠DAE=∠BAC=45°；
∴△ABE是等邊三角形，
∴AB=BE，
∴B、D兩點均在線段AE的中垂線上，
∴∠BFA=90°，
∴DF=AD•sin∠DAE=1，BF=AB•sin∠BAE=$\sqrt{3}$，
∴BD=BF-DF=$\sqrt{3}-1$．
（2）由旋轉(zhuǎn)變換可知，△ABC≌△AED，
∴S_△ABC=S_△AED，
∴S_陰影=S_扇形ABE+S_△ABC-S_△AED-S_扇形ADC
=S_扇形ABE-S_扇形ADC
=$\frac{60π•{2}^{2}}{360}-\frac{60π•（\sqrt{2}）^{2}}{360}$
=$\frac{4}{6}π-\frac{2}{6}π$
=$\frac{1}{3}π$．

點評 該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理、扇形的面積公式等幾何知識點及其應用問題；解題的方法是作輔助線，將分散的條件集中；解題的關(guān)鍵是靈活運用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理、扇形的面積公式等幾何知識點來分析、判斷、解答．