Question

14．如圖，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半徑OA=6，將扇形AOB沿過點B的直線折疊，點O恰好落在弧AB上點D處，折痕交OA于點C，整個陰影部分的面積9π-12$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先連接OD，由折疊的性質(zhì)，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，則可得△OBD是等邊三角形，繼而求得OC的長，即可求得△OBC與△BCD的面積，又在扇形OAB中，∠AOB=90°，半徑OA=6，即可求得扇形OAB的面積，繼而求得陰影部分面積．

解答 解：連接OD．
根據(jù)折疊的性質(zhì)，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，
∴OB=OD=BD，
即△OBD是等邊三角形，
∴∠DBO=60°，
∴∠CBO=$\frac{1}{2}$∠DBO=30°，
∵∠AOB=90°，
∴OC=OB•tan∠CBO=6×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_△BDC=S_△OBC=$\frac{1}{2}$×OB×OC=$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$，S_扇形AOB=$\frac{90}{360}$π×6²=9π，
∴整個陰影部分的面積為：S_扇形AOB-S_△BDC-S_△OBC=9π-6$\sqrt{3}$-6$\sqrt{3}$=9π-12$\sqrt{3}$．
故答案為：9π-12$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了折疊的性質(zhì)、扇形面積公式以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．