Question

6．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿A→D→C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)的同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，當(dāng)t取何值時(shí)，PQ∥CD？
（2）從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，當(dāng)t取何值時(shí)，△PQC為直角三角形？

Answer 1

分析 （1）已知AD∥BC，添加PD=CQ即可判斷以PQDC為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
（2）點(diǎn)P處可能為直角，點(diǎn)Q處也可能是直角，而后求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)PQ∥CD時(shí)，四邊形PDCB是平行四邊形，
此時(shí)PD=QC，
∴12-2t=t，
∴t=4．
∴當(dāng)t=4時(shí)，四邊形PQDC是平行四邊形．
（2）過(guò)D點(diǎn)，DF⊥BC于F，
∴DF=AB=8．
FC=BC-AD=18-12=6，CD=10，
①當(dāng)PQ⊥BC，
則BQ+CQ=18．即：2t+t=18，
∴t=6；
②當(dāng)QP⊥PC，此時(shí)P一定在DC上，
CP₁=10+12-2t=22-2t，CQ₂=t，
易知，△CDF∽△CQ₂P₁，
∴$\frac{22-2t}{6}=\frac{t}{10}$，
解得：t=$\frac{110}{13}$，
 ③情形：當(dāng)PC⊥BC時(shí)，因∠DCB＜90°，此種情形不存在．
∴當(dāng)t=6或$\frac{110}{13}$時(shí)，△PQC是直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形以及圓與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，注意分情況討論和常見(jiàn)知識(shí)的應(yīng)用．