Question

17．矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AB中點(diǎn)，連EF，沿AH折疊，B落在EF的G處，HG的延長(zhǎng)線(xiàn)過(guò)D，證明：△AHD為等邊三角形．

Answer 1

分析 首先求證四邊形AFED和四邊形FBCE是矩形，利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例得出GH=GD，利用折疊，證得BH=GH=GD，∠B=∠AGH=∠AGD=90°，證得△ABH≌△AGH≌△AGD，求得∠DAH=60°，AH=AD，利用等邊三角形的判定得出答案．

解答 證明：∵矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AB中點(diǎn)，
∴四邊形AFED和四邊形FBCE是矩形，DE=CE，
∴AD∥EF∥BC，
∴DG=GH，
∵沿AH折疊，B落在EF的G處，∠B=90°，
∴AB=AG，BH=GH，∠B=∠AGH=∠AGD=90°，
∴BH=GH=GD，
在△ABH、△AGH和△AGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AG=AG}\\{∠B=∠AGH=∠AGD}\\{BH=GH=GD}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△AGH≌△AGD，
∴AH=AD，∠BAH=∠GAH=∠DAG=30°，
∴∠DAH=60°，
∴△AHD為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定，掌握翻折的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．