Question

17．如果拋物線C₁的頂點(diǎn)在拋物線C₂上，同時(shí)，拋物線C₂的頂點(diǎn)在拋物線C₁上，那么，我們稱拋物線C₁與C₂關(guān)聯(lián)．
（1）已知拋物線①：y=-2x²+4x+3與②：y=2x²+4x-1，請判斷拋物線①與拋物線②是否關(guān)聯(lián)，并說明理由；
（2）將拋物線C₁：y=-2x²+4x+3沿x軸翻折，再向右平移m（m＞0）個(gè)單位，得到拋物線C₂，若拋物線C₁與C₂關(guān)聯(lián)，求m的值；
（3）點(diǎn)A為拋物線C₁：y=-2x²+4x+3的頂點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線C₁關(guān)聯(lián)的拋物線的頂點(diǎn)（點(diǎn)B位于x軸的下方），是否存在以AB為斜邊的等腰直角三角形ABC，使其直角頂點(diǎn)C在x軸上？若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩拋物線的關(guān)聯(lián)依次判斷即可；
（2）根據(jù)兩拋物線關(guān)聯(lián)的定義直接列式得出結(jié)論；
（3）分當(dāng)點(diǎn)C位于AD左側(cè)和當(dāng)點(diǎn)C位于AD右側(cè)，借助關(guān)聯(lián)的意義設(shè)出點(diǎn)C坐標(biāo)，表示出點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出點(diǎn)C坐標(biāo)．

解答 解：（1）由①知，y=-2（x-1）²+5，
∴拋物線①：y=-2x²+4x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，5），
把x=1代入拋物線②：y=2x²+4x-1，得y=5，
∴拋物線①的頂點(diǎn)在拋物線②上，
又由②y=2（x+1）²-3，
∴拋物線②的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-3），
把x=-1代入拋物線①中，得，y=-3，
∴拋物線②的頂點(diǎn)在拋物線①上，
∴拋物線①與拋物線②關(guān)聯(lián)．
（2）拋物線y=-2x²+4x+3沿x軸翻折后拋物線為y=2x²-4x-3，
即：y=2（x-1）²-5，
設(shè)平移后的拋物線解析式為y=2（x-1-m）²-5，
把x=1，y=5代入得2（1-1-m）²-5=5，
∴m=±$\sqrt{5}$，
∵m＞0，
∴m=$\sqrt{5}$，
（3）①當(dāng)點(diǎn)C位于AD左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，如圖1，

∴△ACD≌△CBE，
∴CE=AD，BE=CD
設(shè)C（c，0），
∵點(diǎn)B在x軸下方，
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為c-1；
Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上時(shí)，即：c＜0，
∴B（c+5，c-1），
把B（c+5，c-1），代入y=-2（x-1）²+5中得，2c²+17c+26=0，
∴c=-2或c=-$\frac{13}{2}$，
∴C（-2，0）或（-$\frac{13}{2}$，0），
Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)C在x軸正半軸上時(shí)，即：0＜c＜1
把B（5-c，c-1），代入y=-2（x-1）²+5中得，2c²-15c+26=0，
∴c=$\frac{15±\sqrt{17}}{4}$（不符合題意，舍），
②當(dāng)點(diǎn)C位于AD右側(cè)時(shí)，
設(shè)C（c，0），同①的方法得出B（c-5，1-c），
將B（c-5，1-c）代入y=-2（x-1）²+5中得，2c²-25c+68=0，
∴c=4或c=$\frac{17}{2}$，
∴C（4，0）或（$\frac{17}{2}$，0），
即：點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（-2，0）或（-$\frac{13}{2}$，0）或（4，0）或（$\frac{17}{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了新定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，分類討論的思想，理解兩拋物線關(guān)聯(lián)是解本題的關(guān)鍵．