Question

7．如圖1，P為平行四邊形ABCD內一點，PB=AB，∠ABP=∠ADP=90°．
（1）請在四邊形ABPD內畫一條線段，把四邊形ABPD分成兩部分，再將這兩部分重新拼成一個正方形，畫出簡圖并說明理由；
（2）如圖2，連結PC，求∠BCP的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過點B作BE⊥AD于E，延長DP交BC于F，線段BE把四邊形ABPD分成△ABE和四邊形BEDP，將△BAE繞點B順時針旋轉90°到△BPF的位置，由平行四邊形的性質得到∠EBC=90°，再理由等角的余角相等得到∠ABE=∠PBF，則可證明△BAE≌△BPF，所以BE=BF，于是可判定四邊形BEDF為正方形；
（2）延長DP交BC于F，如圖2，同樣方法可證明△DCF≌△BPF得到CF=PF，則△PCF為等腰直角三角形，從而得到∠BCP=45°．

解答 解：（1）如圖1，過點B作BE⊥AD于E，延長DP交BC于F，線段BE把四邊形ABPD分成△ABE和四邊形BEDP，將△BAE繞點B順時針旋轉90°到△BPF的位置，則四邊形BEDF為正方形．
理由如下：
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴BE⊥BC，
∴∠EBC=90°，
∵∠ADP=90°．
∴∠DFB=90°，
∵∠ABP=90°．
∴∠ABE=∠PBF，
在△BAE和△BPF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠PFB}\\{∠ABE=∠PBF}\\{BA=BP}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△BPF，
∴BE=BF，
∴四邊形BEDF為正方形；

（2）延長DP交BC于F，如圖2，
與（1）一樣可證明△DCF≌△BPF，
∴CF=PF，
∴△PCF為等腰直角三角形，
∴∠BCP=45°．

點評 本題考查了復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了正方形的判定．