Question

3．（1）求上午10時30分，鐘面上時針和分針的夾角．
（2）在上午10時30分到11時30分之間，時針和分針何時成直角？
（3）在0時到12時之間，鐘面上的時針與分針在什么時候成60°的角？試盡可能多地找出答案，又秒針與時針共有幾次成60°的角？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)時針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)，可得答案；
（2）利用時針和分針所成角度的和與差是90°列出方程解答即可；
（3）分針的速度為每分鐘1個單位長度，則時針的速度為每分鐘$\frac{1}{12}$個單位長度，將時針、分針看成兩個不同速度的人在環(huán)形跑道上同時（從0時開始）開始同向而行，要求兩者相距10個或50單位長度所用的時間，由此列出方程解答即可．

解答 解：（1）鐘表上的刻度是把一個圓平均分成了12等份，每一份是30°，
上午10時30分，鐘面上時針和分針的夾角是4.5個等份，因而時針和分針的夾角是4.5×30=135°；

（2）時針一小時即60分鐘轉(zhuǎn)30度，一分鐘轉(zhuǎn)動0.5°，分針一小時轉(zhuǎn)360度，一分鐘轉(zhuǎn)6度，
可以設(shè)從上午10時30分再經(jīng)過x分鐘，時針和分針成直角，
列方程得到：135-6x+0.5x=90，
解得x=8$\frac{2}{11}$，即10時38$\frac{2}{11}$分時，時針和分針成直角；
11時時針與分針的夾角是30度，設(shè)再過y分鐘，時針與分針的夾角是直角，
根據(jù)題意得到：30+6y-0.5y=90，解得y=10$\frac{10}{11}$，
則當在11時10$\frac{10}{11}$分時，時針和分針成直角．

（3）設(shè)從0時開始，過x分鐘后分針與時針成60°的角，此時分針比時針多走了n圈（n=0，1，2，…，11），
則x-$\frac{x}{12}$=60n+10或x-$\frac{x}{12}$=60n+50，
解得x=$\frac{12}{11}$（60n+10）或x=$\frac{12}{11}$（60n+10）．
分別令n=0，1，2，3，…，11，即得本題的所有解（精確到秒），共22個：
0：10：55    1：16：22    2：21：49    3：27：16    4：32：44    5：38：11
6：43：38    7：49：05    8：54：33    10：00：00    11：05：27
0：54：33    2：00：00    3：05：27    4：10：55    5：16：22    6：21：49
7：27：16    8：32：44    9：38：11    10：43：38    11：49：05
在12個小時內(nèi)，秒針相對于時針走了60×12-1=719圈，所以秒針與時針共有719×2=1438次成60°的角．

點評 此題考查一元一次方程的實際運用，搞清利用起點時間時針和分針的位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．