Question

12．如圖所示，矩形ABCD的頂點(diǎn)C、D在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的圖象上，頂點(diǎn)A在y軸上，頂點(diǎn)B在x軸上，連接OD，若∠ODC=60°，則$\frac{AB}{AD}$=$\sqrt{3}+1$．

Answer 1

分析 解答本題的關(guān)鍵是要證明矩形ABCD關(guān)于直線y=x對(duì)稱，進(jìn)而通過(guò)∠ODC=60°得到△ODC為等邊三角形，再通過(guò)三角形的邊角關(guān)系得出AB與AD的比值．

解答 解：如圖，作DE⊥y軸，CF⊥x軸，
∵矩形ABCD，
∴AD=BC，∠CBF+∠ABO=∠BAO+∠DAE=90°，
又∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBF=∠BAO=∠EDA，
∴△DEA≌△BFC，△BFC∽△AOB，
∴BF=DE，AE=CF，
設(shè)BF=ED=a，CF=AE=b，OB=bm，OA=am，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（a+bm，b），D點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b+am），
∵C，D在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$上，
∴b（a+bm）=a（b+am）=k，
∴b²=a²，∴a=b，
∴C，D兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，A，B兩點(diǎn)也關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
連接OC，OC=OD，
∵∠ODC=60°，
∴△ODC為等邊三角形，
∴OC=OD=DC=AB，
設(shè)OA=OB=c，
∴AB=$\sqrt{2}c$，OC=$\sqrt{2}c$，
設(shè)CF=BF=a，
∴BC=AD=$\sqrt{2}a$，
∴在Rt△OFC中，OF²+CF²=OC²，
∴（a+c）²+a²=（$\sqrt{2}c$）²
∴$\frac{2{a}^{2}}{{c}^{2}}+\frac{2a}{c}=1$，
∴$\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{\sqrt{2}c}{\sqrt{2}a}=\frac{c}{a}=\sqrt{3}+1$
故答案為：$\sqrt{3}+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題為反比例函數(shù)的綜合題，其中涉及全等三角形與相似三角形的證明與性質(zhì)，軸對(duì)稱圖形，以及勾股定理的應(yīng)用，此題難度較大．