Question

2．已知關(guān)于x的一元二次方程2x²+ax+a-3=0．
（1）證明無論a為何值該方程都有兩個不相等的實根．
（2）若兩實數(shù)根的平方和為4$\frac{1}{4}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出“△”，再根據(jù)“△”的值推出即可；
（2）設(shè)方程的兩個根為x₁，x₂，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=-$\frac{a}{2}$，x₁•x₂=$\frac{a-3}{2}$，根據(jù)兩實數(shù)根的平方和為4$\frac{1}{4}$得出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可．

解答 （1）證明：△=a²-4×2×（a-3）=a²-8a+24
=（a-4）²+8，
因為不論a為何值，（a-4）²+8＞0，
所以△＞0，
所以無論a為何值該方程都有兩個不相等的實根；

（2）解：設(shè)方程的兩個根為x₁，x₂，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=-$\frac{a}{2}$，x₁•x₂=$\frac{a-3}{2}$，
∵兩實數(shù)根的平方和為4$\frac{1}{4}$，
∴x₁²+x₂²=4$\frac{1}{4}$，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2•x₁•x₂=（-$\frac{a}{2}$）²-2•$\frac{a-3}{2}$=4$\frac{1}{4}$，
即a²-4a-5=0，
解得：a₁=5，a₂=-1，
即a的值是5或-1．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式的應(yīng)用，能正確運用性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，難度適中．