Question

2．如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在AD邊上，點(diǎn)F在AD的延長(zhǎng)線上，且BE=CF．
（1）求證：四邊形EBCF是平行四邊形．
（2）若∠BEC=90°，∠ABE=30°，AB=$\sqrt{3}$，求ED的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由Rt△BAE≌Rt△CDF，推出∠1=∠F，推出BE∥CF，又BE=CF，即可證明四邊形EBCF是平行四邊形；
（2）Rt△BAE中，∠2=30°，AB=$\sqrt{3}$，求出AE、BE，在Rt△BEC中，求出BC，由此即可解決問題．

解答 （1）證明：

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠CDF=∠ABC=90°，AB=DC，AD=BC，
在Rt△BAE和Rt△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=DC\\ BE=CF\end{array}\right.$，
∴Rt△BAE≌Rt△CDF，
∴∠1=∠F，
∴BE∥CF，
又∵BE=CF，
∴四邊形EBCF是平行四邊形．

（2）解：∵Rt△BAE中，∠2=30°，AB=$\sqrt{3}$，
∴AE=AB•tan∠2=1，$BE=\frac{AB}{cos∠2}=2$，∠3=60°，
在Rt△BEC中，$BC=\frac{BE}{cos∠3}=\frac{2}{cos60°}=4$，
∴AD=BC=4，
∴ED=AD-AE=4-1=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定．解直角三角形，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考�？碱}型．