Question

10．如圖，在等邊△ABC中，邊長為30，點M為線段AB上一動點，將等邊△ABC沿過M的直線折疊，折痕與直線AC交于點N，使點A落在直線BC上的點D處，且BD：DC=1：4，設(shè)折痕為MN，則AN的值為21或65．

Answer 1

分析 此題要分兩種情況進行討論：：①當點A落在線段BC上時；②當A在CB的延長線上時，首先證明△BMD∽△CDN．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得$\frac{BD}{CN}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{BM}{CD}$，再設(shè)AN=x，則CN=30-x，然后利用含x的式子表示DM、BM，根據(jù)BM+DM=30列出方程，解出x的值可得答案．

解答 解：①當點A落在如圖1所示的位置時，
∵△ACB是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°，
∵∠MDC=∠B+∠BMD，∠B=∠MDN，
∴∠BMD=∠NDC，
∴△BMD∽△CDN．
∴$\frac{BD}{CN}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{BM}{CD}$，
∵DN=AN，
∴$\frac{BD}{CN}$=$\frac{DN}{AN}$=$\frac{BM}{CD}$，
∵BD：DC=1：4，BC=30，
∴DB=6，CD=24，
設(shè)AN=x，則CN=30-x，
∴$\frac{6}{30-x}$=$\frac{DM}{x}$=$\frac{BM}{24}$，
∴DM=$\frac{6x}{30-x}$，BM=$\frac{72}{30-x}$，
∵BM+DM=30，
∴$\frac{6x}{30-x}$+$\frac{72}{30-x}$=30，
解得x=21，
∴AN=21；

②當A在CB的延長線上時，如圖2，
與①同理可得△BMD∽△CDN．
∴$\frac{BD}{CN}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{BM}{CD}$，
∵BD：DC=1：4，BC=30，
∴DB=10，CD=40，
設(shè)AN=x，則CN=x-30，
∴$\frac{10}{x-30}$=$\frac{DM}{x}$=$\frac{BM}{40}$，
∴DM=$\frac{10x}{x-30}$，BM=$\frac{200}{x-30}$，
∵BM+DM=30，
∴$\frac{10}{x-30}$+$\frac{200}{x-30}$=15，
解得：x=65，
∴AN=65．
故答案為：21或65．

點評 此題主要考查了翻折變換，關(guān)鍵是證明△BMD∽△CDN得到$\frac{BD}{CN}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{BM}{CD}$，再利用含AN的式子表示DM、BM．