Question

20．在邊長為2的正方形ABCD中，P為AB上的一動點，E為AD中點，PE交CD延長線于Q，過E作EF⊥PQ交BC的延長線于F，則下列結論：①△APE≌△DQE；②PQ=EF；③當P為AB中點時，CF=$\sqrt{2}$；④若H為QC的中點，當P從A移動到B時，線段EH掃過的面積為$\frac{1}{2}$，其中正確的是（　　）

• A． ①②
• B． ①②④
• C． ②③④
• D． ①②③

Answer 1

分析 利用正方形的性質、全等三角形的性質、勾股定理等知識一一判斷即可；

解答 解：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=90°，
∵∠A=∠EDQ，∠AEP=∠QED，AE=ED，
∴△AEP≌△DEQ，故①正確，
②作PG⊥CD于G，EM⊥BC于M，
∴∠PGQ=∠EMF=90°，
∵EF⊥PQ，
∴∠PEF=90°，
∴∠PEN+∠NEF=90°，∵∠NPE+∠NEP=90°，
∴∠NPE=∠NEF，
∵PG=EM，
∴△EFM≌△PQG，
∴EF=PQ，故②正確，
③連接QF．則QF=PF，PB²+BF²=QC²+CF²，設CF=x，
則（2+x）²+1²=3²+x²，
∴x=1，故③錯誤，
④當P在A點時，Q與D重合，QC的中點H在DC的中點S處，當P運動到B時，QC的中點H與D重合，
故EH掃過的面積為△ESD的面積的一半為$\frac{1}{2}$，故④正確．
故選B．

點評 本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．