Question

18．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，交AB于點(diǎn)D，已知∠A=α，∠B=β，且2α+β=90°．若OA=6，sinβ=$\frac{3}{5}$，求BC的長．

Answer 1

分析 連接OC，則可得出∠A=∠ACO，從而利用外角的知識可得∠BOC=2α，再由2α+β=90°可判斷出∠OCB=90°，繼而可判斷出BC是⊙O的切線，根據(jù)同圓的半徑相等OC=OA=6，OC⊥BC，利用sinB=$\frac{3}{5}$=$\frac{OC}{OB}$可求出OB的長度，在RT△OBC中利用勾股定理可得出BC的長度．

解答 解：連接OC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A，
∵∠BOC=∠A+∠ACO=2∠A，
∴∠BOC+∠B=2∠A+∠B=90°，
∴∠BCO=90°，即OC⊥BC，
∵C在⊙O上，
∴BC是⊙O的切線．
∵OC=OA=6，OC⊥BC，
在Rt△BOC中，sinB=$\frac{OC}{OB}$，
∵sinβ=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{3}{5}$=$\frac{6}{OB}$，
∴OB=10，
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}-O{C}^{2}}$=8．

點(diǎn)評 此題考查了切線的判定，勾股定理，以及圓周角定理，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．關(guān)鍵是利用sinB的值求出OB的長度，有一定難度．