Question

3．如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，以AB為直徑作⊙O恰好與CD相切．
（1）求證：AD+BC=CD；
（2）若E為OA的中點(diǎn)，連結(jié)CE并延長交DA的延長線于F，當(dāng)AE=AF時(shí)，求sin∠DCF．

Answer 1

分析 （1）作OH⊥CD于H，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到點(diǎn)H為切點(diǎn)，再證明AD和BC都與⊙O相切，則根據(jù)切線長定理得到DA=DH，CB=CH，于是有AD+BC=DH+CH=CD；
（2）先判斷△AEF為等腰直角三角形得到∠F=45°，再判斷△OBC為等腰直角三角形得BE=BC，作DG⊥BC于G，如圖，易得四邊形ABGD為矩形，則設(shè)AE=AF=x，AD=y，所以BE=BC=3x，CD=y+3x，DG=4x，CG=CB-BG=3x-y，接著在Rt△DGC中利用勾股定理可計(jì)算出y=$\frac{4}{3}$x，則CD=$\frac{13}{3}$x，DF=$\frac{7}{3}$x；作DK⊥CF于K，如圖，則△KDF為等腰直角三角形，于是DK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF=$\frac{7\sqrt{2}}{6}$x，然后在Rt△CDK中根據(jù)正弦的定義求解．

解答 （1）證明：作OH⊥CD于H，如圖，
∵以AB為直徑作⊙O與CD相切，
∴點(diǎn)H為切點(diǎn)，
∵∠ABC=90°，AD∥BC，
∴AD⊥AB，BC⊥AB，
∴AD和BC都與⊙O相切，
∴DA=DH，CB=CH，
∴AD+BC=DH+CH=CD；
（2）解：∵AE=AF，∠EAF=90°，
∴△AEF為等腰直角三角形，
∴∠F=45°，
∵AF∥BC，
∴∠FCB=45°，
∴△OBC為等腰直角三角形，
∴BE=BC，
作DG⊥BC于G，如圖，易得四邊形ABGD為矩形，
設(shè)AE=AF=x，AD=y，則BE=BC=3x，
∴CD=y+3x，DG=4x，CG=CB-BG=3x-y，
在Rt△DGC中，∵DG²+CG²=CD²，
∴（4x）²+（3x-y）²=（y+3x）²，
∴y=$\frac{4}{3}$x，
∴CD=$\frac{4}{3}$x+3x=$\frac{13}{3}$x，DF=x+$\frac{4}{3}$x=$\frac{7}{3}$x，
作DK⊥CF于K，如圖，則△KDF為等腰直角三角形，
∴DK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF=$\frac{7\sqrt{2}}{6}$x，
在Rt△CDK中，sin∠DCK=$\frac{DK}{DC}$=$\frac{\frac{7\sqrt{2}}{6}x}{\frac{13}{3}x}$=$\frac{7\sqrt{2}}{26}$，
即sin∠DCF=$\frac{7\sqrt{2}}{26}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)；經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了梯形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)．