Question

2．如圖，點(diǎn)D為定線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，以BD為直徑作半圓O，過(guò)A作半圓O的切線，切點(diǎn)為C，連CD，當(dāng)（AC-AD）取最大值時(shí)，tan∠ACD=（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 連接BC、CD，首先證明ACD∽△ABC，AC²=AB•AD，設(shè)AB=K，AC=x，則AD=$\frac{{x}^{2}}{k}$，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知x=$\frac{K}{2}$時(shí)，AC-AD有最大值，由銳角三角函數(shù)的定義和相似三角形的性質(zhì)求解即可．

解答 解：如圖所示；連接BC、CD．


∵AC是圓O的切線，
∴∠ACD=∠CBD．
又∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC．
∴AC²=AB•AD，$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BC}$．
設(shè)AB=k，AC=x，則AD=$\frac{{x}^{2}}{k}$．
∴AC-AD=$-\frac{{x}^{2}}{k}+x$．
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=-$\frac{2a}=-\frac{1}{-\frac{1}{k}×2}=\frac{k}{2}$時(shí)，AC-AD有最大值．
即AC=$\frac{AB}{2}$時(shí)，AC-AD有最大值．
∴tan∠DCA=tan∠CBD=$\frac{CD}{BC}=\frac{1}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的切線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、二次函數(shù)的最值，根據(jù)題意列出AC-AD關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．