Question

13．如圖，將矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=9，沿EF折疊，使點B落在DC邊上點P處，點A落在點Q處，AD與PQ相交于點H．
（1）如圖1，當(dāng)點P為邊DC的中點時，求EC的長；
（2）如圖2，當(dāng)∠CPE=30°，求EC、AF的長；
（3）如圖2，在（2）條件下，求四邊形EPHF的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意可知PC=3，由翻折的性質(zhì)可知BE=PE，設(shè)EC=x，則PE=9-x，在Rt△PEC中，依據(jù)勾股定理列方程求解即可；
（2）依據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)可知：EC=$\frac{1}{2}$PE，設(shè)EC=x，則EB=9-x，由翻折的性質(zhì)可知EP=BE=9-x，列出關(guān)于x的方程可求得EC的長，然后利用特殊銳角三角函數(shù)值，可求得PC、PD、DH的長，然后設(shè)AF=y，由翻折的性質(zhì)可知AF=QF=y，最后依據(jù)FQ=$\frac{1}{2}$FH列方程求解即可；
（3）連結(jié)EH，先求得FH和PH、PE的長，最后依據(jù)四邊形FEPH的面積=△FHE的面積+△HPE的面積求解即可．

解答 解：（1）∵ABCD為矩形，
∴CD=AB=6．
∵P是DC的中點，
∴PC=3．
由翻折的性質(zhì)可知BE=PE．
設(shè)EC=x，則PE=9-x．
在Rt△PEC中，依據(jù)勾股定理可知：PE²=EC²+PC²，即（9-x）²=x²+3²，解得：x=4，
∴EC=4．

（2）∵∠CPE=30°，∠C=90°，
∴EC=$\frac{1}{2}$PE．
設(shè)EC=x，則EB=9-x，由翻折的性質(zhì)可知EP=BE=9-x．
∵EC=$\frac{1}{2}$PE，
∴x=$\frac{1}{2}$×（9-x）．
解得：x=3．
∴EC=3．
∴$\frac{EC}{PC}$=tan60°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則CP=3$\sqrt{3}$．
∴DP=6-3$\sqrt{3}$．
∵∠EPH=90°，∠CPE=30°，
∴∠DPH=60°．
∴DH=$\sqrt{3}$DP=6$\sqrt{3}$-9．
∴AH=18-6$\sqrt{3}$．
設(shè)AF=y，由翻折的性質(zhì)可知AF=QF=y，則FH=18-6$\sqrt{3}$-y．
∵∠QHF=30°，∠Q=90°，
∴QF=$\frac{1}{2}$FH．
∴y=$\frac{1}{2}$×（18-6$\sqrt{3}$-y），解得：y=6-2$\sqrt{3}$．
∴AF=6-2$\sqrt{3}$．

（3）如圖所示：連結(jié)EH．

由（2）可知AF=6-2$\sqrt{3}$，
∴FH=18-6$\sqrt{3}$-（6-2$\sqrt{3}$）=12-4$\sqrt{3}$．
∵PH=2DP，EP=2EC，
∴PH=12-6$\sqrt{3}$，PE=6．
∴四邊形FEPH的面積=△FHE的面積+△HPE的面積=$\frac{1}{2}$FH•AB+$\frac{1}{2}$HP•EP
=$\frac{1}{2}×$（12-4$\sqrt{3}$）×6+$\frac{1}{2}$×（12-6$\sqrt{3}$）×6=72-30$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查的是四邊形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了矩形的性質(zhì)、特殊銳角三角函數(shù)值、翻折的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是利用特殊銳角三角函數(shù)值求得相關(guān)線段的長，同時連結(jié)HE將四邊形的面積轉(zhuǎn)為兩個三角形的面積之和求解是解題的關(guān)鍵．