Question

18．一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如圖1，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．
（1）求證：△AEF∽△ABC；
（2）求這個正方形零件的邊長；
（3）如果把它加工成矩形零件如圖2，問這個矩形的最大面積是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的對邊平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊或其他兩邊的延長線，得到的三角形與原三角形相似”判定即可．
（2）設(shè)正方形零件的邊長為x mm，則KD=EF=x，AK=80-x，根據(jù)EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，解方程即可得到結(jié)果；
（3）根據(jù)矩形面積公式得到關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)求出矩形的最大值．

解答 解：（1）∵四邊形EGFH為矩形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
（2）設(shè)正方形零件的邊長為x mm，則KD=EF=x，AK=80-x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AK}{AD}$，
∴$\frac{x}{120}=\frac{80-x}{80}$，
解得x=48．
答：正方形零件的邊長為48mm．
（3）設(shè)EF=x，EG=y，
∵△AEF∽△ABC
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AK}{AD}$，
∴$\frac{x}{120}$=$\frac{80-y}{80}$
∴y=80-$\frac{2}{3}$x
∴矩形面積S=xy=-$\frac{2}{3}$x²+80x=-$\frac{2}{3}$（x-60）²+2400（0＜x＜120）
故當(dāng)x=60時，此時矩形的面積最大，最大面積為2400mm²．

點評 本題考查了正方形以及矩形的性質(zhì)，結(jié)合了平行線的比例關(guān)系求解，注意數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用．