Question

17．如圖1，已知一次函數(shù)y=kx-2k（k≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）經(jīng)過O、A兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，以點(diǎn)D為圓心、DA為半徑作⊙D．
（1）試求含a的代數(shù)式表示b；
（2）將⊙D關(guān)于x軸對(duì)稱得到⊙D′，當(dāng)⊙D′恰與直線AD相切時(shí)，求⊙D的半徑及拋物線的解析式；
（3）當(dāng)a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，如圖2，設(shè)點(diǎn)B是⊙D上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于O、A兩點(diǎn)），函數(shù)y=kx-2k（k≠0）的圖象與拋物線交于另一點(diǎn)P（異于O、A兩點(diǎn)），請(qǐng)問：是否存在點(diǎn)P使得∠OAP=$\frac{1}{2}$∠OBA？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一次函數(shù)y=kx-2k（k≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A，易得點(diǎn)A的坐標(biāo)，把A，O坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c（a＞0）可得a、b的關(guān)系式；
（2）當(dāng)⊙D′恰與直線AD相切時(shí)，四邊形ODAD′是正方形，△OAD是等腰直角三角形，易得D點(diǎn)坐標(biāo)和和DA的長(zhǎng)，進(jìn)而求出拋物線解析式；
（3）根據(jù)題意，求出D點(diǎn)坐標(biāo)，易知∠ODA=120°，所以∠OBA=60°或120°，由于∠OAP=$\frac{1}{2}$∠OBA，于是當(dāng)∠OAP=30°或60°時(shí)分類討論，可得答案．

解答 解：（1）一次函數(shù)y=kx-2k（k≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），把A（2，0），O（0，0）代入y=ax²+bx+c（a＞0），得c=0，4a+2b=0，
∴b=-2a；
（2）將⊙D關(guān)于x軸對(duì)稱得到⊙D′，
∴DO=DA=D′O=D′A，
∵⊙D′恰與直線AD相切，
∴四邊形ODAD′是正方形，△OAD是等腰直角三角形，
∵OA=2，
∴DO=DA=$\sqrt{2}$，D（1，-1），
把D（1，-1）代入拋物線解析式與b=-2a聯(lián)立得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=-2a}\\{a+b=-1}\end{array}\right.$
解得：a=1，b=-2，
∴拋物線解析式為：y=x²-2x；
（3）存在；
當(dāng)a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，b=-2a=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1）²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴D（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
作DH⊥OA，則OH=AH=1，DH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ODH=∠ADH=60°，
∴∠ODA=120°，
∵點(diǎn)B是⊙D上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于O、A兩點(diǎn)），
∴∠OBA=60°或120°，
①如圖1所示，當(dāng)∠OBA=60°時(shí)，∠OAP=$\frac{1}{2}$∠OBA=30°，
點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，∠OAP=∠OAD=30°
∴P與D重合，
∴P（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，∠OAP=30°，直線AP與直線AD關(guān)于x軸對(duì)稱
易求得直線AD的解析式y(tǒng)=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
∴直線AP的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
直線AP與拋物線相交，則$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
解得：x=-1或x=2
x=-1時(shí)，y=$\sqrt{3}$，
∴P（-1，$\sqrt{3}$），
②如圖2所示，當(dāng)∠OBA=120°時(shí)，∠OAP=$\frac{1}{2}$∠OBA=60°，
點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，∠OAP=60°，
∴k=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴直線AP的解析式為：y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$，
直線AP與拋物線相交，則$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$，
解得：x=2或x=3，
x=3時(shí)，y=$\sqrt{3}$，
∴P（3，$\sqrt{3}$），此時(shí)∠OAP=120°，不合題意舍去；
點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，∠OAP=60°，
直線AP的解析式為：y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
直線AP與拋物線相交，則$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
解得：x=2或x=-3，
x=-3時(shí)，y=5$\sqrt{3}$，
∴P（-3，5$\sqrt{3}$），
綜上所述：P（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）或P（-1，$\sqrt{3}$）或P（-3，5$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求拋物線的解析式和直線解析式，頂點(diǎn)坐標(biāo)，勾股定理計(jì)算，以及分類思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．