Question

10．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，AD是⊙O的切線，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，且BE=AD．
（1）連接DE，試判斷四邊形ABED的形狀，并說明理由；
（2）若AB=10，BC=12，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)A作直徑AF交BC于H，如圖，利用AF為直徑，$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，則根據(jù)垂徑的推論可判定AF垂直平分BC，再利用切線的性質(zhì)得AF⊥AD，所以AD∥BC，然后根據(jù)平行四邊形的判定方法判斷四邊形ABED的形狀；
（2）連接OB，AF交BC于H，如圖，設(shè)⊙O的半徑．利用AF垂直平分BC得到BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=6，再利用勾股定理計(jì)算出AH=8，然后在Rt△OBH中利用勾股定理得到6²+（8-r）²=r²，再解方程即可．

解答 解：（1）四邊形ABED為平行四邊形．理由如下：
過點(diǎn)A作直徑AF交BC于H，如圖，
∵AF為直徑，$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴AF垂直平分BC，
∵AD是⊙O的切線，
∴AF⊥AD，
∴AD∥BC，
∵BE=AD，
∴四邊形ABED為平行四邊形；

（2）連接OB，如圖，設(shè)⊙O的半徑．
∵AF垂直平分BC，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=6，
在Rt△ABH中，AH=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
在Rt△OBH中，OH=r，OH=AH-OA=8-r，
∴6²+（8-r）²=r²，解得r=$\frac{25}{4}$，
即⊙O的半徑為$\frac{25}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了垂徑定理的推論．