Question

14．如圖，Rt△ABC中，AB=AC=4，D為BC中點(diǎn)，E是線段AD上任意一點(diǎn)，將線段EC繞著點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段EF，連接DF，則DF的最小值是2．

Answer 1

分析 連接FC，證明△ACE∽△BCF，由相似三角形的性質(zhì)得到∠CBF為定值45°，然后分析點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡，再根據(jù)題意求DF的最小值

解答 解：如下圖所示：連接CF，

∵Rt△ABC中，AB=AC=4，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
又∵線段EC繞著點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到線段EF，
∴∠ECF=∠EFC=45°．
∵∠AEC+∠ECB=∠FCB+∠ECB=45°，
∴∠ACE=∠FCB
又∵$\frac{AC}{BC}=\frac{4}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{EC}{FC}=\frac{EC}{\sqrt{2}EC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即：$\frac{AC}{BC}=\frac{EC}{FC}$，
∴△ACE∽△BCF
∴∠CBF=∠CAE=45°
則根據(jù)垂線段最短知，當(dāng)DF⊥BF于F時(shí)．，DF的值最�。�
∵△BDF′是等腰直角三角形，且DB=DF′，∠BDF′=90°，
∴AD=CD=BD=DF′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
又∵在△BDF′中，BD=DF′，∠BDF′=90°，
∴DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=2
  即：DF的最小值為2

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分析清楚點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡．