Question

10．如圖，半圓形紙片的直徑AB=10，AC是弦，∠BAC=15°，將半圓形紙片沿AC折疊，弧$\widehat{AC}$交直徑AB于點D，則線段AD的長為5$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)圓心為O，連接AC，OC，BC，CD，過C作CH⊥BD于H，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC=30°，解直角三角形得到CH=2.5，OH=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，BH=5-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到$\widehat{AC}$=$\widehat{ADC}$，推出∠CDB=∠CBD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD=2BH=10-5$\sqrt{3}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)圓心為O，
連接AC，OC，BC，CD，過C作CH⊥BD于H，
∵∠A=15°，
∴∠BOC=30°，
∵AB=10，
∴OC=5，
∴CH=2.5，OH=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴BH=5-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∵將半圓形紙片沿AC折疊，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{ADC}$，
∴∠ABC=∠CAB+∠ACD，
∵∠CDB=∠ACD+∠CAD，
∴∠CDB=∠CBD，
∴CD=BC，
∴BD=2BH=10-5$\sqrt{3}$，
∴AD=AB-BD=5$\sqrt{3}$．
故答案為：5$\sqrt{3}$．

點評 考查了翻折變換（折疊問題），垂徑定理，三角形中位線定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及鄰補(bǔ)角的定義，綜合性較強(qiáng)，難度中等．