Question

9．小穎和小芳在一起探討有關“多邊形及其內角和”的問題，兩人互相出題考對方，小穎給小芳出了這樣一道題目：“一個凸五邊形的各內角的度數比是1：2：3：4：8，求各內角的度數”．小芳想了想，說這道題目有問題．
（1）請你指出問題在哪里；
（2）她們經過研究后，改變了題目中的一個數字，使這道題沒有問題，請你也嘗試一下，換一個合適的數字，使這道題目沒有問題，并進行解答．

Answer 1

分析 （1）利用凸多邊形內角都小于180°，進而得出答案；
（2）分別分析進而得出符合題意的數字，求出即可．

解答 解：（1）因為一個凸五邊形的各內角的度數比為1：2；3：4：8
所以可設這些分別為x°，2x°，3x°，4x°，8x°，
有x+2x+3x+4x+8x=540
18x=540
x=30
8x=240＞180
說明這不是個凸五邊形，所以有問題；
（2）如果要使它有解，且只能改變一個數的話，只能讓最后一個數字盡可能的小，
或者其它數字盡可能地大，而比例一般按由小到大的順序排列．
所以為以下幾種情況：
2：2：3：4：8； 1：3：3：4：8；1：2：4：4：8； 1：2：3：8：8；
以上這幾種情況都不行，因此只能盡可能地把最后一個變小
而最后一個為5時，求得最大角為180度，還不行，
只能讓最后一個數字為4，也就是說讓比變?yōu)?：2：3：4：4
這時有x+2x+3x+4x+4x=540
14x=540
x=$\frac{270}{7}$，
2x=$\frac{540}{7}$，
3x=$\frac{810}{7}$，
4x=$\frac{1080}{7}$，
所以這五個角依次為：$\frac{27{0}^{°}}{7}$，$\frac{54{0}^{°}}{7}$，$\frac{81{0}^{°}}{7}$，$\frac{108{0}^{°}}{7}$，$\frac{108{0}^{°}}{7}$．

點評 此題主要考查了多邊形內角與外角，利用多邊形內角和定理得出是解題關鍵．