Question

20．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊上一點(diǎn)，且∠BAF=∠EAD．
（1）求證：EF⊥AE；
（2）將“正方形”改成“矩形”，其他條件均不變，如圖2，你認(rèn)為仍然有“EF⊥AE”嗎？若你同意，請(qǐng)以圖2為例加以證明；如你不同意，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）延長AE交BC的延長線于G點(diǎn)，如圖1，由正方形性質(zhì)得AD∥CG，∠D=∠BCD=∠DCG=90°，再證明△ADE≌△GCE得到AE=GE，∠DAE=∠G，接著證明FA=FG，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；
（2）延長AE交BC的延長線于G點(diǎn)，如圖2，證明的方法與（1）一樣，也可得到EF⊥AE．

解答 解：（1）延長AE交BC的延長線于G點(diǎn)，如圖1，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥CG，∠D=∠BCD=∠DCG=90°，
∵E是DC的中點(diǎn)
∴DE=EC，
在△ADE和△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ECG}\\{DE=CE}\\{∠AED=∠GEC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△GCE，
∴AE=GE，∠DAE=∠G，
∵∠EAF=∠EAD，
∴∠FAE=∠G
∴FA=FG，
∴EF⊥AG，即EF⊥AE；
（2）仍然有“EF⊥AE”．證明如下：
延長AE交BC的延長線于G點(diǎn)，如圖2，
同樣可證明△ADE≌△GCE，
∴AE=GE，∠DAE=∠G，
∵∠EAF=∠EAD，
∴∠FAE=∠G
∴FA=FG，
∴EF⊥AG，即EF⊥AE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)