Question

19．如圖，在△AOB中，∠AOB為直角，OA=6，OB=8，半徑為2的動(dòng)圓圓心Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿著OA方向以1個(gè)單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AB方向也以1個(gè)單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t≤5）以P為圓心，PA長為半徑的⊙P與AB、OA的另一個(gè)交點(diǎn)分別為C、D，連結(jié)CD、QC．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合？
（2）當(dāng)⊙Q經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，求⊙P被OB截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）由題意知CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用對(duì)應(yīng)邊的比求出AD的長度，若Q與D重合時(shí)，則，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值；
（2）由于0＜t≤5，當(dāng)Q經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，OQ=4，此時(shí)用時(shí)為4s，過點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，利用垂徑定理即可求出⊙P被OB截得的弦長．

解答 解：（1）∵OA=6，OB=8，
∴由勾股定理可得：AB=10，
由題意知：OQ=t=AP=t，AC=2t，
∵AC是⊙P的直徑，
∴∠CDA=90°，
∴CD∥OB，
∴△ACD∽△ABO，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{OA}$，即$\frac{2t}{10}$=$\frac{AD}{6}$，
∴AD=$\frac{6}{5}$t，
∵D與Q重合，
∴$\frac{6}{5}$t+t=6，
解得t=$\frac{30}{11}$；

（2）如圖，過點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，⊙P與OB相交于點(diǎn)F、G，連接PF，

當(dāng)⊙Q經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，OQ=OA-QA=4，
∴t=$\frac{4}{1}$=4s，
∴PA=4，
∴BP=AB-PA=6，
∵∠PEB=∠O=90°，
∴PE∥OA，
∴△PEB∽△AOB，
∴$\frac{PE}{OA}$=$\frac{BP}{AB}$，即$\frac{PE}{6}$=$\frac{6}{10}$，
∴PE=$\frac{18}{5}$，
∵PF=PA=4，
∴Rt△PEF中，由勾股定理可得EF=$\sqrt{F{P}^{2}-E{P}^{2}}$=$\frac{2}{5}\sqrt{19}$，
由垂徑定理可求知：FG=2EF=$\frac{4}{5}\sqrt{19}$，
故⊙P被OB截得的弦長為 $\frac{4}{5}\sqrt{19}$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于圓的綜合問題，主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解題時(shí)需要根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形來分析，并且能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答．