Question

1．在圓O中，直徑AB=2，D為圓上的一點(diǎn)，tan∠BAD=$\frac{1}{2}$，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)C，使CD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，連接BD，H為直徑AB上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)H作AB的垂線交圓O于點(diǎn)E，交射線BD于點(diǎn)F，連接CF．
（1）求證：BC與圓O相切；
（2）當(dāng)BH等于多少時(shí)，△BCF為等腰三角形；
（3）當(dāng)BH等于多少時(shí)，CF⊥AE．

Answer 1

分析 （1）在直角△ABD中利用三角函數(shù)求得BD的長(zhǎng)，然后在直角△BCD中利用勾股定理即可求得BC的長(zhǎng)，則利用勾股定理的逆定理即可判斷△ABC是直角三角形，從而證明切線；
（2）分成BF=FC，BF=BC=1和BC=FC=1三種情況進(jìn)行討論，利用切線的性質(zhì)以及勾股定理即可求解；
（3）BE⊥AE，則當(dāng)EF=BC時(shí)，四邊形BCFE是平行四邊形，CF⊥AE，即當(dāng)EF=BC時(shí)，CF⊥AE，設(shè)BH=x，列方程即可求解．

解答 解（1）∵AB是直徑，AB⊥ED，
∴AB⊥EF，
∴AE=AF，
∴∠EAB=∠DAB，
∵tan∠BAD=$\frac{1}{2}$，
∴tan$∠EAB=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{EH}{AH}$=$\frac{1}{2}$
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵tan∠BAD=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∵AB=2，
∴BD²+（2BD）²=2²，
解得BD=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$，
∴AD=2BD=$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$，
∴AC=AD+DC=$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\sqrt{5}$
在RT△BDC中，BC=$\sqrt{B{D}^{2}+D{C}^{2}}$=1，
∴AC²=BC²+AB²，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC與圓O相切；
（2）分三種情況，
①BF=FC時(shí)，則BC=2FH，
∴FH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，如圖1，

∵BC是切線，
∴∠DBC=∠BAD，
∵AB⊥BC，AB⊥EF，
∴EF∥BC，
∴∠HFB=∠DBC=∠BAD，
∴tan∠HFB=$\frac{1}{2}$，
∴BH=$\frac{1}{2}$FH=$\frac{1}{4}$；
②BF=BC=1時(shí)，
∵tan∠HFB=$\frac{1}{2}$，
∴在RT△BFH中，BH²+（2BH）²=BF²，
∴BH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
③BC=FC=1時(shí)，如圖2，

∵AC⊥BF，
∴BD=DE=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$，
∴BF=$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$，
∵tan∠HFB=$\frac{1}{2}$，
∴在RT△BFH中，BH²+（2BH）²=BF²，
∴BH=$\frac{4}{5}$．
（3）設(shè)BH=x，
∵∠CBD=∠BAD，tan∠BAD=$\frac{1}{2}$，
∴HF=2BH=2x，
連接OE，BE．如圖3，
在直角△OEH中，EH=$\sqrt{O{E}^{2}-O{H}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}-（1-x）^{2}}$=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$．
當(dāng)EF=BC時(shí)，四邊形BCFE是平行四邊形，AE⊥BE，則CF⊥AE．
則$\sqrt{2x-{x}^{2}}$+2x=1，
解得：x=$\frac{1}{5}$或1（不合題意舍去）．
即BH=$\frac{1}{5}$時(shí)，CF⊥AE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理和逆定理，正確理解CF⊥AE的條件是關(guān)鍵．