Question

8．如圖，在直角坐標系中，已知A（3，0），點B為直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上的一個動點，延長AB至C，使得AB=BC，過點C作CD⊥x軸于點D，交直線OB于點F，過點A作AE∥OB交直線CD于點E．
（1）若B點的橫坐標為6，則DE的長度為2$\sqrt{3}$．
（2）在點B的運動過程中，線段CF的長度是否發(fā)生改變？若不變，請求出線段CF的長度；若改變，請說明理由．
（3）連接BE，在點B的運動過程中，當△ABE為直角三角形時，求出點E的坐標，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）把x=6代入直線OB解析式求出y的值，確定出B坐標，根據(jù)B為AC中點，求出C的坐標，再由AE與OB平行確定出直線AE解析式，由CD垂直于x軸，得到E與C橫坐標相同，把C橫坐標代入直線AE解析式求出E的縱坐標，即為DE的長；
（2）在點B的運動過程中，線段CF的長度不發(fā)生改變，設B橫坐標為a，代入直線OB解析式表示出縱坐標，根據(jù)B為AC中點，表示出C的坐標，再由AE與OB平行確定出直線AE解析式，由CD垂直于x軸，得到E與C橫坐標相同，把C橫坐標代入直線AE解析式表示出E的縱坐標，由CD-DE求出CE的長，根據(jù)F為CE中點，求出CF的長即可；
（3）連接BE，顯然AB不可能與AE垂直，根據(jù)（2）得出B（a，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a），E（2a-3，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a-2$\sqrt{3}$），進而分兩種情況考慮：若AB⊥BE；若BE⊥AE，利用兩直線垂直時斜率的乘積為-1求出a的值，即可確定出滿足題意E的坐標．

解答 解：（1）把x=6代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，得：y=2$\sqrt{3}$，
∵A（3，0），B（6，2$\sqrt{3}$），且B為AC中點，
∴C（9，4$\sqrt{3}$），
由AE∥OB，且直線OB解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，故設直線AE解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
把A（3，0）代入得：b=-$\sqrt{3}$，即直線AE解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$，
由CD⊥x軸，得到C與E橫坐標相同，
把x=9代入直線AE解析式得：y=2$\sqrt{3}$，
則DE=2$\sqrt{3}$；
故答案為：2$\sqrt{3}$；
（2）在點B的運動過程中，線段CF的長度不發(fā)生改變，
設B橫坐標為a，則有B（a，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a），
∵A（3，0），且B為AC中點，
∴C（2a-3，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a），
由CD⊥x軸，得到C與E橫坐標相同，即CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
把x=2a-3代入直線AE解析式y(tǒng)=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$，得：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2a-3）-$\sqrt{3}$，即DE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a-2$\sqrt{3}$，
則CF=$\frac{CE}{2}$=$\frac{CD-DE}{2}$=$\sqrt{3}$；
（3）連接BE，顯然∠BAE不可能為90°，
由（2）得到B（a，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a），E（2a-3，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a-2$\sqrt{3}$），
若AB⊥BE，則有k_AB•k_BE=-1，即$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}a}{a-3}$•$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}a-2\sqrt{3}}{a-3}$=-1，
整理得：4a²-18a+21=0，
∵△=324-336=-12＜0，
∴此方程無解，AB不可能垂直于BE；
若BE⊥AE，則有k_AE•k_BE=-1，即$\frac{\sqrt{3}}{3}$•$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}a-2\sqrt{3}}{a-3}$=-1，
解得：a=$\frac{15}{4}$，
此時E（$\frac{9}{2}$，$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$），
綜上，當△ABE為直角三角形時，點E的坐標為（$\frac{9}{2}$，$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$）．

點評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：兩直線平行時斜率滿足的關系，兩直線垂直時斜率滿足的關系，坐標與圖形性質，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，利用了分類討論的思想，熟練掌握一次函數(shù)的性質是解本題的關鍵．