Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（0，5）、（0，2）、（4，2），直線l的解析式為y=kx+5-4k（k＞0）．
（1）當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，求一次函數(shù)的解析式；
（2）通過計(jì)算說明：不論k為何值，直線l總經(jīng)過點(diǎn)D；
（3）直線l與y軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)N是線段DM上的一點(diǎn)，且△NBD為等腰三角形，試探究：
①當(dāng)函數(shù)y=kx+5-4k為正比例函數(shù)時(shí)，點(diǎn)N的個(gè)數(shù)有2個(gè)；
②點(diǎn)M在不同位置時(shí)，k的取值會(huì)相應(yīng)變化，點(diǎn)N的個(gè)數(shù)情況可能會(huì)改變，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N所有不同的個(gè)數(shù)情況以及相應(yīng)的k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把B點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l的解析式可求得k，可求得一次函數(shù)的解析式；
（2）由矩形的性質(zhì)可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，代入l的解析式，總成立，可得出結(jié)論；
（3）①由條件可求得函數(shù)解析式，求得BM=2，分別以D為圓心BD為半徑畫圓、作BD的垂直平分線，可得出與DM的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可得出答案；②按BM=5，BM＞5和0＜BM＜5三種情況，分別結(jié)合圖形可得出答案．

解答 解：
（1）把B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+5-4k可得，5-4k=2，解得k=$\frac{3}{4}$，
∴直線l的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+2；
（2）由題意可知D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，5），
把x=4代入y=kx+5-4k可得y=5，
∴不論k為何值，直線l總經(jīng)過點(diǎn)D；
（3）①當(dāng)函數(shù)y=kx+5-4k為正比例函數(shù)時(shí)可得5-4k=0，解得k=$\frac{5}{4}$，
∴直線解析式為y=$\frac{5}{4}$x，則BM=2，如圖1所示，

以D為圓心BD為半徑畫圓，與DM有一交點(diǎn)，BD的垂直平分線與DM有一交點(diǎn)，
故滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)．
故答案為：2；
②∵k＞0，
∴5-4k＜5，
當(dāng)5-4k=-3時(shí)，k=2，此時(shí)OM=3，則MB=5，如圖2所示，

分別以B、D為圓心BD為半徑畫圓，與DM交于點(diǎn)M和N₁，和BD的垂直平分線交DM于點(diǎn)N₂，故此時(shí)滿足條件的N點(diǎn)有3個(gè)，
當(dāng)k＞2時(shí)，此時(shí)MB＞5，如圖3所示，

分別以B、D為圓心BD為半徑畫圓，與DM交于N₁、N₂兩點(diǎn)，BD的垂直平分線交DM于N₃，
故滿足條件的點(diǎn)有3個(gè)，
∴當(dāng)k≥2時(shí)，滿足條件的點(diǎn)有3個(gè)，
當(dāng)$\frac{3}{4}$＜k＜2時(shí)，此時(shí)0＜OB＜5，同理可得出滿足條件點(diǎn)有兩個(gè)，
當(dāng)k=$\frac{3}{4}$時(shí)，此時(shí)B、M重合，則滿足條件的N點(diǎn)有0個(gè)，
當(dāng)0＜k＜$\frac{3}{4}$時(shí)，即M在線段AB上時(shí)，同理可知滿足條件的點(diǎn)只有一個(gè)，
綜上可知當(dāng)k≥2時(shí)，有3個(gè)；當(dāng)$\frac{3}{4}$＜k＜2時(shí)，有兩個(gè)；當(dāng)k=$\frac{3}{4}$時(shí)，有0個(gè)；當(dāng)0＜k＜$\frac{3}{4}$時(shí)，有1個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)、正比例函數(shù)的定義等．在（1）中把B點(diǎn)坐標(biāo)代入求得k即可，在（2）中求得D點(diǎn)坐標(biāo)代入解析即可得證，在（3）中注意利用圓的特征來確定N點(diǎn)的個(gè)數(shù)，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．本題知識(shí)點(diǎn)較多，但難度適中．