Question

13．謝爾賓斯基地毯，最早是由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基制作出來的：把一個正三角形分成全等的4個小正三角形，挖去中間的一個小三角形；對剩下的3個小正三角形再分別重復(fù)以上做法…將這種做法繼續(xù)進(jìn)行下去，就得到小格子越來越多的謝爾賓斯基地毯（如圖）．若圖1中的陰影三角形面積為1，則圖5中的所有陰影三角形的面積之和是$\frac{81}{256}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，每次挖去等邊三角形的面積的$\frac{1}{4}$，剩下的陰影部分面積等于原陰影部分面積的$\frac{3}{4}$，然后根據(jù)有理數(shù)的乘方列式計算即可得解．

解答 解：圖2陰影部分面積=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
圖3陰影部分面積=$\frac{3}{4}$×$\frac{3}{4}$=（$\frac{3}{4}$）²，
圖4陰影部分面積=$\frac{3}{4}$×（$\frac{3}{4}$）²=（$\frac{3}{4}$）³，
圖5陰影部分面積=$\frac{3}{4}$×（$\frac{3}{4}$）³=（$\frac{3}{4}$）⁴=$\frac{81}{256}$．
故答案為：$\frac{81}{256}$．

點評 本題是對圖形變化規(guī)律的考查，觀察出每次挖出后剩下的陰影部分面積等于原陰影部分面積的$\frac{3}{4}$是解題的關(guān)鍵．