Question

5．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點P在CA的延長線上，∠CAD=45°．
（Ⅰ）若AB=4，求$\widehat{CD}$的長；
（Ⅱ）若$\widehat{BC}$=$\widehat{AD}$，AD=AP，求證：PD是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OC，OD，由圓周角定理得到∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，于是得到∠COD=90°，根據(jù)弧長公式即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）由已知條件得到∠BOC=∠AOD，由圓周角定理得到∠AOD=45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ODA=∠OAD，求得∠ADP=$\frac{1}{2}∠$CAD=22.5°，得到∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，于是得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）連接OC，OD，
∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，
∴∠COD=90°，
∵AB=4，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴$\widehat{CD}$的長=$\frac{90}{180}$×π×2=π；
（Ⅱ）∵$\widehat{BC}$=$\widehat{AD}$，
∴∠BOC=∠AOD，
∵∠COD=90°，
∴∠AOD=45°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵∠AOD+∠ODA=∠OAD=180°，
∴∠ODA=67.5°，
∵AD=AP，
∴∠ADP=∠APD，
∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，
∴∠ADP=$\frac{1}{2}∠$CAD=22.5°，
∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，
∴PD是⊙O的切線．

點評 本題考查了切線的判定，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，弧長的計算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．