Question

14．閱讀理解：
如圖①，圖形l外一點(diǎn)P與圖形l上各點(diǎn)連接的所有線段中，若線段PA₁最短，則線段PA₁的長(zhǎng)度稱為點(diǎn)P到圖形l的距離．

例如：圖②中，線段P₁A的長(zhǎng)度是點(diǎn)P₁到線段AB的距離；線段P₂H的長(zhǎng)度是點(diǎn)P₂到線段AB的距離．
解決問(wèn)題：
如圖③，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（8，4），（12，7），點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向x軸正方向運(yùn)動(dòng)了t秒．
（1）當(dāng)t=4時(shí)，求點(diǎn)P到線段AB的距離；
（2）t為何值時(shí)，點(diǎn)P到線段AB的距離為5？
（3）t滿足什么條件時(shí)，點(diǎn)P到線段AB的距離不超過(guò)6？（直接寫出此小題的結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）作AC⊥x軸，由PC=4、AC=4，根據(jù)勾股定理求解可得；
（2）作BD∥x軸，分點(diǎn)P在AC左側(cè)和右側(cè)兩種情況求解，P位于AC左側(cè)時(shí)，根據(jù)勾股定理即可得；P位于AC右側(cè)時(shí)，作AP₂⊥AB，交x軸于點(diǎn)P₂，證△ACP₂≌△BEA得AP₂=BA=5，從而知P₂C=AE=3，繼而可得答案；
（3）分點(diǎn)P在AC左側(cè)和右側(cè)兩種情況求解，P位于AC左側(cè)時(shí)，根據(jù)勾股定理即可得；點(diǎn)P位于AC右側(cè)且P₃M=6時(shí)，作P₂N⊥P₃M于點(diǎn)N，知四邊形AP₂NM是矩形，證△ACP₂∽△P₂NP₃得$\frac{A{P}_{2}}{{P}_{2}{P}_{3}}$=$\frac{C{P}_{2}}{N{P}_{3}}$，求得P₂P₃的長(zhǎng)即可得出答案．

解答 解：（1）如圖1，作AC⊥x軸于點(diǎn)C，

則AC=4、OC=8，
當(dāng)t=4時(shí)，OP=4，
∴PC=4，
∴點(diǎn)P到線段AB的距離PA=$\sqrt{P{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BD∥x軸，交y軸于點(diǎn)D，

①當(dāng)點(diǎn)P位于AC左側(cè)時(shí)，∵AC=4、P₁A=5，
∴P₁C=$\sqrt{{P}_{1}{A}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴OP₁=5，即t=5；
②當(dāng)點(diǎn)P位于AC右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AP₂⊥AB，交x軸于點(diǎn)P₂，
∴∠CAP₂+∠EAB=90°，
∵BD∥x軸、AC⊥x軸，
∴CE⊥BD，
∴∠ACP₂=∠BEA=90°，
∴∠EAB+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠P₂AC，
在△ACP₂和△BEA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AC{P}_{2}=∠BEA=90°}\\{AC=BE=4}\\{∠{P}_{2}AC=∠ABE}\end{array}\right.$，
∴△ACP₂≌△BEA（ASA），
∴AP₂=BA=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
而此時(shí)P₂C=AE=3，
∴OP₂=11，即t=11；

（3）如圖3，
①當(dāng)點(diǎn)P位于AC左側(cè)，且AP₃=6時(shí)，

則P₃C=$\sqrt{A{{P}_{3}}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴OP₃=OC-P₃C=8-2$\sqrt{5}$；
②當(dāng)點(diǎn)P位于AC右側(cè)，且P₃M=6時(shí)，
過(guò)點(diǎn)P₂作P₂N⊥P₃M于點(diǎn)N，
則四邊形AP₂NM是矩形，
∴∠AP₂N=90°，∠ACP₂=∠P₂NP₃=90°，AP₂=MN=5，
∴△ACP₂∽△P₂NP₃，且NP₃=1，
∴$\frac{A{P}_{2}}{{P}_{2}{P}_{3}}$=$\frac{C{P}_{2}}{N{P}_{3}}$，即$\frac{5}{{P}_{2}{P}_{3}}$=$\frac{3}{1}$，
∴P₂P₃=$\frac{5}{3}$，
∴OP₃=OC+CP₂+P₂P₃=8+3+$\frac{5}{3}$=$\frac{38}{3}$，
∴當(dāng)8-2$\sqrt{5}$≤t≤$\frac{38}{3}$時(shí)，點(diǎn)P到線段AB的距離不超過(guò)6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一次函數(shù)的綜合問(wèn)題，理解題意掌握點(diǎn)到線段的距離概念及分類討論思想的運(yùn)用、矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．