Question

2．如圖1，經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C；與雙曲線y=$\frac{k}{x}$相交于點(diǎn)A，B；直線AB與分別與x軸、y軸交于點(diǎn)D，E．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，4），點(diǎn)B在第四象限內(nèi)且到x軸、y軸的距離相等．
（1）求雙曲線和拋物線的解析式；
（2）計(jì)算△ABC的面積；
（3）如圖2，將拋物線平移至頂點(diǎn)在原點(diǎn)上時(shí)，直線AB隨之平移，試判斷：在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAB的內(nèi)切圓的圓心在y軸上？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出雙曲線的解析式，進(jìn)而得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）先求出直線AB的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，最后用三角形的面積和求解即可；
（3）先確定出平移后點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線BA'的解析式即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線的解析式得：k=-1×4=-4．
所以雙曲線的解析式為y=-$\frac{4}{x}$．
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，-m）．
∵點(diǎn)B在雙曲線上，
∴-m²=-4，解得m=2或m=-2．
∵點(diǎn)B在第四象限，
∴m=2．
∴B（2，-2）．
將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=4}\\{4a+2b+c=-2}\\{c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\\{c=0}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=x²-3x．
（2）如圖1，連接AC、BC．
令y=0，則x²-3x=0，
∴x=0或x=3，
∴C（3，0），
∵A（-1，4），B（2，-2），
∴直線AB的解析式為y=-2x+2，
∵點(diǎn)D是直線AB與x軸的交點(diǎn)，
∴D（1，0），
∴S_△ABC=S_△ADC+S_△BDC=$\frac{1}{2}$×2×4+$\frac{1}{2}$×2×2=6；

（3）存在，理由：如圖2，
由原拋物線的解析式為y=x²-3x=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
∴原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
∴拋物線向左平移$\frac{3}{2}$個(gè)單位，再向上平移$\frac{9}{4}$個(gè)單位，
而平移前A（-1，4），B（2，-2），
∴平移后點(diǎn)A（-$\frac{5}{2}$，$\frac{25}{4}$），B（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），
∴點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'（$\frac{5}{2}$，$\frac{25}{4}$），
連接A'B并延長交y軸于點(diǎn)P，連接AP，
由對(duì)稱性知，∠APE=∠BPE，
∴△APB的內(nèi)切圓的圓心在y軸上，
∵B（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），A'（$\frac{5}{2}$，$\frac{25}{4}$），
∴直線A'B的解析式為y=3x-$\frac{5}{4}$，
∴P（0，-$\frac{5}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積公式，對(duì)稱的性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，解（2）的關(guān)鍵是求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，解（3）的關(guān)鍵是確定出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)，是一道基礎(chǔ)題目．