Question

1．如圖，∠ACB=∠CDE=90°，AC=BC，AB=2CD=2ED，G是BD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)
（1）如圖1，當(dāng)F在CE上時(shí)，連接FG與CG，若CG=$\sqrt{3}$，求線段FG的長(zhǎng)度；
（2）如圖2，當(dāng)CE經(jīng)過(guò)點(diǎn)G時(shí)，求證：CG=EF+EG．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，在Rt△BDC中，設(shè)CD=x，則AB=2x，AC=BC=$\sqrt{2}$x，則有x²+（$\sqrt{2}$x）²=（2$\sqrt{3}$）²，求出x，再求出AD，根據(jù)FG=$\frac{1}{2}$AD即可解決問(wèn)題；
（2）如圖2中，作BH∥DE交EC于H，連接CF．由△GHB≌△GED，推出DE=BH=CF，GE=HG，由△ECF≌△CBH，推出CH=EF，由此即可證明；

解答 （1）解：如圖1中，

在Rt△DCB中，∵DG=GB，
∴CG=$\frac{1}{2}$BD，
∵CG=$\sqrt{3}$，
∴BD=2$\sqrt{3}$，
∵AC=BC，AB=2CD=2ED，∠ACB=∠CDE=90°，
設(shè)CD=x，則AB=2x，AC=BC=$\sqrt{2}$x，
∴x²+（$\sqrt{2}$x）²=（2$\sqrt{3}$）²，
∴x=2，
∴CD=2，AC=2$\sqrt{2}$，
∴AD=AC-CD=2$\sqrt{2}$-2，
∵DG=GB，AF=BF，
∴FG=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{2}$-1．

（2）如圖2中，作BH∥DE交EC于H，連接CF．

∵AC=CB，∠ACB=90°，AF=FB，
∴CF=AF=BF=CD=DE，∠FCB=45°，
易證△GHB≌△GED，
∴DE=BH=CF，GE=HG，
∵∠BHE=∠DEC=45°=∠HCB+∠HBC，∠FCB=45°=∠ECF+∠BCH，
∴∠ECF=∠CBH，
在△ECF和△CBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=BC}\\{∠ECF=∠CBH}\\{CF=BH}\end{array}\right.$，
∴△ECF≌△CBH，
∴CH=EF，
∴CG=CH+HG=EF+GE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．