Question

19．如圖，BD為⊙O的直徑，AD交BC于點(diǎn)E，AE=2，ED=4，過點(diǎn)A作⊙O的切線FA交DB延長線于點(diǎn)F，且AF∥BC．
（1）求證：AB=AC；
（2）求AF的長．

Answer 1

分析 （1）連接OA，由AF是⊙O的切線知OA⊥AF，根據(jù)AF∥BC即可得OA⊥BC，從而根據(jù)垂徑定理得證；
（2）先根據(jù)相似三角形的判定得到△ABE∽△ADB，從而根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得到AB的長，根據(jù)圓周角定理求得△ABD是直角三角形，根據(jù)正切函數(shù)求得∠D=30°，求得∠AOB=60°，證得OA=OB=AB=2$\sqrt{3}$，在Rt△AOF中，通過正切函數(shù)即可求得AF的長．

解答 解：（1）如圖，連接OA，

∵AF是⊙O的切線，
∴OA⊥AF，
∵AF∥BC，
∴OA⊥BC，
∴AB=AC；

（2）∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴∠ABE=∠ADB，
∵∠BAE=∠DAB=90°，∠ABE=∠ADB，
∴△ABE∽△ADB．
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AE}{AB}$．
∴AB²=AE•AD=2×（2+4）=12．
∴AB=2$\sqrt{3}$，
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
∵tan∠D=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠D=30°，
∴∠AOB=60°，
∴OA=OB=AB=2$\sqrt{3}$，
∵OA⊥AF，
∴tan∠AOF=$\frac{AF}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∴AF=$\sqrt{3}$OA=$\sqrt{3}$×$2\sqrt{3}$=6．

點(diǎn)評 此題主要考查切線的判定，平行線的性質(zhì)，圓周角定理以及正切函數(shù)等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．