Question

7．如圖，已知△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，給出以下四個(gè)結(jié)論：
①圖中只有2對(duì)全等三角形 
②AE=CF； 
③△EPF是等腰直角三角形；
④S_{四邊形AEPF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC；
⑤EF的最小值為$\sqrt{2}$．
上述結(jié)論始終正確的有②③④⑤（填序號(hào)）．

Answer 1

分析 根據(jù)全等三角形的判定定理、等腰直角三角形的判定定理、全等三角形的性質(zhì)定理判斷即可．

解答 解：∵AB=AC=2，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，
∴∠BAP=∠CAP=45°，
∵∠EPF=90°，
∴∠BPE+∠EPA=90°，
∴∠BPE=∠APF，∠EPA=∠FPC，
在△BPE和△APF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPE=∠APF}\\{∠B=∠PAF}\\{BP=AP}\end{array}\right.$，
∴△BPE≌△APF，
∴△EPA≌△FPC，△APC≌△APB，有3對(duì)全等三角形，①錯(cuò)誤；
∵△EPA≌△FPC，
∴AE=CF，②；
∵△BPE≌△APF，
∴PE=PF，又∠EPF=90°，
∴△EPF是等腰直角三角形，③正確；
∵△BPE≌△APF，
∴S_{四邊形AEPF}=S_△ABP=$\frac{1}{2}$S_△ABC，④正確；
由②知，△EPF是等腰直角三角形，則EF=$\sqrt{2}\sqrt{2}$EP．當(dāng)EP⊥AB時(shí)，EP去最小值，此時(shí)EP=$\frac{1}{2}$AB，則EF_最小值=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{2}$．故⑤正確，
故答案為：②③④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．