Question

16．如圖，在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡船，現(xiàn)均收到故障船C的求救信號．已知A．B兩船相距100（$\sqrt{3}$+1）海里，船C在船A的北偏東60°方向上，船C在船B的東南方向上，MN上有一觀測點(diǎn)D，測得船C正好在觀測點(diǎn)D的南偏東75°方向上．已知距觀測點(diǎn)D處100海里范圍內(nèi)有暗礁，若巡邏船A沿直線AC去營救船C，在去營救的途中有無觸暗礁危險？（參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 作CE⊥AB，設(shè)AE=x海里，則BE=CE=$\sqrt{3}$x海里．根據(jù)AB=AE+BE=x+$\sqrt{3}$x=100（$\sqrt{3}$+1），求得x的值后即可求得AC的長；過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，同理求出AD的長，根據(jù)AD的長和∠DAF的度數(shù)求線段DF的長后與100比較即可得到答案．

解答 解：如圖，作CE⊥AB，
由題意得：∠ABC=45°，∠BAC=60°，
設(shè)AE=x海里，
在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°=$\sqrt{3}$x；
在Rt△BCE中，BE=CE=$\sqrt{3}$x．
∴AE+BE=x+$\sqrt{3}$x=100（$\sqrt{3}$+1），
解得：x=100．
AC=2x=200．
在△ACD中，∠DAC=60°，∠ADC=75°，則∠ACD=45°．
過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，
設(shè)AF=y，則DF=CF=$\sqrt{3}$y，
∴AC=y+$\sqrt{3}$y=200，
解得：y=100（$\sqrt{3}$-1），
∴DF=$\sqrt{3}$AF=$\sqrt{3}$×100（$\sqrt{3}$-1）≈126.29海里，
∵126.29＞100，
所以巡邏船A沿直線AC航線，在去營救的途中沒有觸暗礁危險．

點(diǎn)評 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中整理出直角三角形并選擇合適的邊角關(guān)系解答．