Question

如圖，在正五邊形ABCDE中，對角線AC，BD相交于點F．
（1）判斷△ABF的形狀，并說明理由；
（2）求證：四邊形AFDE為菱形．

Answer 1

考點：正多邊形和圓,菱形的判定

專題：

分析：（1）利用正五邊形的性質求出各內角度數，進而利用等腰三角形的性質和判定得出答案．
（2）首先由正五邊形的性質可得AB=BC=CD=DE=AE，BE∥CD，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=BE，根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證．

解答：解：△ABF是等腰三角形，
理由是：∵在正五邊形ABCDE中，對角線BD、AC交于F，
∴∠AED=∠EDC=∠BCD=108°，AC=BD，AE=DE，
∴∠BAC=∠CBD=36°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=108°-36°=72°；
∴∠AFB=180°-36°-72°=72°，
∴∠ABD=∠AFB，
∴△ABF為等腰三角形；
（2）證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴AB=BC=CD=DE=AE，BD∥AE，AC∥DE，
∴四邊形DENC是平行四邊形，
∵AE=AF，
∴四邊形AFDE是菱形．

點評：本題考查了正多邊形的性質，利用正五邊形的性質得出內角度數是解題關鍵．