Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x²+$\frac{1}{4}$與y軸相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對稱．
（1）填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，$\frac{1}{2}$）；
（2）過點(diǎn)B的直線y=kx+b（其中k＜0）與x軸相交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作直線l平行于y軸，P是直線l上一點(diǎn)，且PB=PC，求線段PB的長（用含k的式子表示），并判斷點(diǎn)P是否在拋物線上，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線解析式可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，再利用對稱可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）可先用k表示出C點(diǎn)坐標(biāo)，過B作BD⊥l于點(diǎn)D，條件可知P點(diǎn)在x軸上方，設(shè)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為y，可表示出PD、PB的長，在Rt△PBD中，利用勾股定理可求得y，則可求出PB的長，此時可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式可判斷P點(diǎn)在拋物線上．

解答 解：（1）∵y=-x²+$\frac{1}{4}$的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，$\frac{1}{4}$），
∴原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，$\frac{1}{2}$），
故答案為：（0，$\frac{1}{2}$）；

（2）∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{1}{2}$），
∴直線解析式為y=kx+$\frac{1}{2}$，
解得：x=-$\frac{1}{2k}$．

∴OC=-$\frac{1}{2k}$．
∵PB=PC，
∴點(diǎn)P只能在x軸上方，
如圖，過點(diǎn)B作BD⊥l于點(diǎn)D，設(shè)PB=PC=m，

則BD=OC=-$\frac{1}{2k}$，CD=OB=$\frac{1}{2}$，
∴PD=PC-CD=m-$\frac{1}{2}$，
在Rt△PBD中，由勾股定理可得PB²=PD²+BD²，即m²=（m-$\frac{1}{2}$）²+（-$\frac{1}{2k}$）²，
解得：m=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4{k}^{2}}$．
∴PB=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4{k}^{2}}$．
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2k}$，$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4{k}^{2}}$）．
當(dāng)x=-$\frac{1}{2k}$時，代入拋物線解析式可得：y=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4{k}^{2}}$，
∴點(diǎn)P在拋物線上．

點(diǎn)評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識點(diǎn)有軸對稱的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等．在（2）中構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理得到關(guān)于PC的長的方程是解題的關(guān)鍵．