Question

17．已知：在平面直角坐標系中有兩點A（-1，1），B（3，2），在x軸上存在點C，使△ABC為等腰三角形，則點C坐標為（$\frac{11}{8}$，0）或（3+2$\sqrt{2}$，0）或（-3+2$\sqrt{2}$，0）或（3，0）或（-5，0）；．

Answer 1

分析 分三種情況：
①AC=BC時，點C在AB的垂直平分線CM上，由直線CM的解析式為y=-4x+$\frac{11}{2}$，得出點C的坐標為（$\frac{11}{8}$，0）；
②當BC=AB=$\sqrt{17}$時，作BE⊥x軸于E，則CE=2$\sqrt{2}$，即可得出點C的坐標；
③當AC=AB=$\sqrt{17}$時，作AD⊥x軸于，則CD=4，即可得出點C的坐標；即可得出結(jié)果．

解答 解：分三種情況：
①AC=BC時，點C在AB的垂直平分線CM上，
如圖1所示：
直線AB的解析式為y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{5}{4}$，
那么直線CM的解析式為y=-4x+$\frac{11}{2}$，
當y=0時，x=$\frac{11}{8}$，
∴點C的坐標為（$\frac{11}{8}$，0）；
②當BC=AB=$\sqrt{17}$時，作BE⊥x軸于E，如圖2所示：
則CE=2$\sqrt{2}$，
∴點C的坐標為（3+2$\sqrt{2}$，0）或（3-2$\sqrt{2}$，0）；
③當AC=AB=$\sqrt{17}$時，作AD⊥x軸于D，
如圖3所示：
則CD=4，
∴點C的坐標為（3，0）或（-5，0）；
綜上所述：點C的坐標為（$\frac{11}{8}$，0）或（3+2$\sqrt{2}$，0）或（3-2$\sqrt{2}$，0）或（3，0）或（-5，0）；
故答案為：（$\frac{11}{8}$，0）或（3+2$\sqrt{2}$，0）或（-3+2$\sqrt{2}$，0）或（3，0）或（-5，0）．

點評 本題考查了等腰三角形的判定、坐標與圖形性質(zhì)、勾股定理、直線解析式的求法等知識；本題綜合性強，有一定難度，需要進行分類討論才能得出結(jié)果．