Question

14．已知點(diǎn)P（m，n）是拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²-2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-3）．
【特例探究】
（1）如圖1，直線l過點(diǎn)Q（0，-1）且平行于x軸，過P點(diǎn)作PB⊥l，垂足為B，連接PA；
①當(dāng)m=0時(shí)，PA=1，PB=1；
②當(dāng)m=2時(shí)，PA=2，PB=2；
【猜想驗(yàn)證】
（2）對(duì)于m取任意一實(shí)數(shù)，猜想PA與PB的大小關(guān)系，并證明你的猜想；
【拓展應(yīng)用】
（3）請(qǐng)利用（2）的結(jié)論解決下列問題：
如圖2，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，-5），連接PC，問PA+PC是否存在最小值？如果存在，請(qǐng)說明理由，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；

Answer 1

分析 （1）①求得A、P、B的坐標(biāo)即可求得；②求得A、P、B的坐標(biāo)即可求得；
（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)P（m，-$\frac{1}{4}$m²-2），則B（m，-1），然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出PA和PB，從而可判斷它們相等；
（3）過點(diǎn)Q作QB∥x軸，過P點(diǎn)作PB⊥QB于B點(diǎn)，如圖2，由PB=PA，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，當(dāng)點(diǎn)P、B、C共線時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，然后計(jì)算對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）①當(dāng)m=0時(shí)，則P（0，n），
代入y=-$\frac{1}{4}$x²-2得，n=-2，
∴P（0，-2），
∴B點(diǎn)與Q點(diǎn)重合，
∵點(diǎn)A（0，-3），點(diǎn)Q（0，-1），
∴PA=1，PB=1；
②當(dāng)m=2時(shí)，則P（2，n），
代入y=-$\frac{1}{4}$x²-2得，n=-3，
∴P（2，-3），
∵點(diǎn)A（0，-3），點(diǎn)Q（0，-1），
∴PA=$\sqrt{{2}^{2}+{0}^{2}}$=2，PB=2；
故答案為：1，1；2，2；
（2）猜想PA與PB相等．
理由如下：設(shè)P（m，-$\frac{1}{4}$m²-2），則B（m，-1），
∵PA=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{4}m-2+3）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{4}{m}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$m²+1，
PB=-1-（-$\frac{1}{4}$m²-2）=$\frac{1}{4}$m²+1，
∴PA=PB．
（3）存在．
過點(diǎn)Q作QB∥x軸，過P點(diǎn)作PB⊥QB于B點(diǎn)，如圖2，
∵PB=PA，
∴PA+PC=PB+PC，
當(dāng)點(diǎn)P、B、C共線時(shí)，PB+PC最小，此時(shí)PC⊥QB，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
當(dāng)x=2時(shí)，y=-$\frac{1}{4}$x²-2=-$\frac{1}{4}$×4-2=-3，
即此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵．