Question

2．如圖③，點E，D分別是正三角形ABC，正四邊形ABCM，正五邊形ABCMN中以點C為頂點的一邊延長線和另一邊反向延長線上的點，且△ABE與△BCD能相互重合，DB的延長線交AE于點F．
（1）在圖①中，求∠AFB的度數(shù)；
（2）在圖②中，∠AFB的度數(shù)為90°，圖③中，∠AFB的度數(shù)為108°；
（3）繼續(xù)探索，可將本題推廣到一般的正n邊形情況，用含n的式子表示∠AFB的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠AC=60°，再由補角的定義可得出∠ABE與∠BCD的度數(shù)，根據(jù)△ABE與△BCD能相互重合可得出∠E=∠D，∠DBC=∠BAE，由三角形外角的性質(zhì)可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）中的方法可得出△BEF∽△BDC，進而可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論找出規(guī)律即可．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABE=∠BCD=120°．
∵△ABE與△BCD能相互重合，
∴∠E=∠D，∠DBC=∠BAE．
∵∠FBE=∠CBD，
∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=∠ACB=60°；

（2）圖②中，∵△ABE與△BCD能相互重合，
∴∠E=∠D．
∵∠FBE=∠CBD，∠D+∠CBD=90°，
∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=90°；
同理可得，圖③中∠AFB=108°．
故答案為：90°，108°；

（3）由（1）（2）可知，在正n邊形中，∠AFB=$\frac{（n-2）•180°}{n}$．

點評 本題考查的是正多邊形和圓，在解答此題時要注意正三角形、正四邊形及正五邊形的性質(zhì)的應用，根據(jù)題意找出規(guī)律是解答此題的關鍵．