Question

5．如圖：AB是⊙O的直徑，AC交⊙O于G，E是AG上一點，D為△BCE內(nèi)心，BE交AD于F，且∠DBE=∠BAD．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）求證：DF=DG；
（3）若∠ADG=45°，DF=1，則有兩個結(jié)論：①AD•BD的值不變；②AD+BD的值不變，其中有且只有一個結(jié)論正確，請選擇正確的結(jié)論，證明并求其值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得出∠DBC=∠DBE，進而根據(jù)已知求得∠DBC=∠BAD，根據(jù)圓周角定理即可證得∠BAD+∠ABD=90°，從而求得AB⊥BC，證得結(jié)論；
（2）連接DE，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形外角的性質(zhì)得出∠DGC=∠ABD，由三角形外角的性質(zhì)求得∠BFD=∠ABD，證得∠BFD=∠DGC，進而求得∠DEG=∠DEB，由三角形內(nèi)心的性質(zhì)得出∠DEG=∠DEB，然后根據(jù)AAS證得△DEF≌△DEG，從而證得DF=DG；
（3）在AD上截取DH=BD，連接AH、BG，證得△ABG是等腰直角三角形，得出AB=$\sqrt{2}$BG，然后證得△ABH∽△GBD，得出$\frac{AH}{DG}$=$\frac{AB}{BG}$=$\sqrt{2}$，求得AH=$\sqrt{2}$，即可求得AD-BD=$\sqrt{2}$．

解答 （1）證明：∵D為△BCE內(nèi)心，
∴∠DBC=∠DBE，
∵∠DBE=∠BAD．
∴∠DBC=∠BAD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠DBC+∠ABD=90°，即∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；
（2）證明：如圖1，連接DE，
∵∠DBC=∠BAD，∠DBC=∠DBE，
∴∠DBE=∠BAD，
∴∠ABF+∠BAD=∠ABF+∠DBE，
∴∠BFD=∠ABD，
∵∠DGC=∠ABD，
∴∠BFD=∠DGC，
∴∠DFE=∠DGE，
∵D為△BCE內(nèi)心，
∴∠DEG=∠DEB，
在△DEF和△DEG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFE=∠DGE}\\{∠DEG=∠DEF}\\{DE=DE}\end{array}\right.$
∴△DEF≌△DEG（AAS），
∴DF=DG；
（3）解：①AD-BD的值不變；
如圖2，在AD上截取DH=BD，連接AH、BG，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=∠AGB=90°，
∵∠ADG=45°，
∴∠ABG=∠ADG=45°，
∴AB=$\sqrt{2}$BG，
∵∠BDH=90°，BD=DH，
∴∠BHD=45°，
∴∠AHB=180°-45°=135°，
∵∠BDG=∠ADB+∠ADG=90°+45°=135°，
∴∠AHB=∠BDG，
∵∠BAD=∠BGD，
∴△ABH∽△GBD，
∴$\frac{AH}{DG}$=$\frac{AB}{BG}$=$\sqrt{2}$，
∵DG=1，
∴AH=$\sqrt{2}$，
∵AD-BD=AD-DH=AH，
∴AD-BD=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了切線的判定、三角形內(nèi)切圓和內(nèi)心，圓周角定理的應用，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形外角的性質(zhì)等，作出輔助線構建全等三角形和相似三角形是解題的關鍵．