Question

16．在平面直角坐標(biāo)系中，如果某點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)P為“夢(mèng)之點(diǎn)”．例如點(diǎn)（1，1），（-2016，-2016），（-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），…，都是“夢(mèng)之點(diǎn)”．
（1）分別判斷函數(shù)y=-2x+1和y=x²+1的圖象上是否存在“夢(mèng)之點(diǎn)”？若存在，求出點(diǎn)“夢(mèng)之點(diǎn)”的坐標(biāo)；
（2）若二次函數(shù)y=ax²+4x+c的圖象上有且只有一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），且當(dāng)0≤x≤m時(shí)，函數(shù)y=ax²+4x+c-$\frac{3}{4}$（a≠0）的最小值為-3，最大值為1，求m的取值范圍；
（3）直線l：y=kx+2經(jīng)過(guò)“夢(mèng)之點(diǎn)”P，與x軸交于點(diǎn)D，與反比例函數(shù)y=$\frac{n}{x}$的圖象交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，且滿足DM+DN＜3$\sqrt{2}$，請(qǐng)直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)和諧點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相同，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得答案．
（2）根據(jù)和諧點(diǎn)的概念令ax²+4x+c=x，即ax²+3x+c=0，由題意，△=3²-4ac=0，即4ac=9，方程的根為 $\frac{-3}{2a}$=$\frac{3}{2}$，從而求得a=-1，c=-$\frac{9}{4}$，所以函數(shù)y=ax²+4x+c-$\frac{3}{4}$=-x²+4x-3，根據(jù)函數(shù)解析式求得頂點(diǎn)坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)y的取值，即可確定x的取值范圍．
（3）根據(jù)題意得出當(dāng)n＞0時(shí)，以及當(dāng)n＜0時(shí)，分別利用數(shù)形結(jié)合得出n的取值．

解答 解：（1）存在，
令-2x+1=x，解得x=$\frac{1}{3}$，
∴函數(shù)y=-2x+1的圖象上有一個(gè)和諧點(diǎn)（ $\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）；   
令x²+1=x，即x²-x+1=0，
∵根的判別式△=（-1）²-4×1×1=-3＜0，
∴方程x²-x+1=0無(wú)實(shí)數(shù)根，
∴函數(shù)y=x²+1的圖象上不存在和諧點(diǎn)．            
（2）令ax²+4x+c=x，即ax²+3x+c=0，
由題意，△=3²-4ac=0，即4ac=9，
又方程的根為 $\frac{-3}{2a}$=$\frac{3}{2}$，
解得a=-1，c=-$\frac{9}{4}$．                           
故函數(shù)y=ax2+4x+c-$\frac{3}{4}$，即y=-x²+4x-3，
如圖1，該函數(shù)圖象頂點(diǎn)為（2，1），與y軸交點(diǎn)為（0，-3），由對(duì)稱性，該函數(shù)圖象也經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，-3）．                            

由于函數(shù)圖象在對(duì)稱軸x=2左側(cè)y隨x的增大而增大，在對(duì)稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小，且當(dāng)0≤x≤m時(shí)，函數(shù)y=-x²+4x-3的最小值為-3，最大值為1，
∴2≤m≤4．              
（3）-$\frac{5}{4}$＜n＜0，或0＜n＜1．  
∵y=kx+2經(jīng)過(guò)和諧點(diǎn)P，
∴y=x，
∴x=kx+2，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，
∴k=-1，
∴直線l為：y=-x+2，
 分兩種情況：

①如圖2，當(dāng)n＞0時(shí)，
∵y=-x+2，與x軸交于點(diǎn)D（2，0），與y軸交于點(diǎn)F（0，2），
∴DF=2 $\sqrt{2}$，
∴DM+DN＜3 $\sqrt{2}$，
∴只要y=-x+2與y=$\frac{n}{x}$有交點(diǎn)坐標(biāo)即可，
∴-x+2=$\frac{n}{x}$，
整理得：x²-2x+n=0，
∴b²-4ac＞0，
∴4-4n＞0，
解得：n＜1，
則0＜n＜1；

②如圖3，

當(dāng)n＜0時(shí)，當(dāng)DM+DN=3 $\sqrt{2}$，
則DN=FM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵y=-x+2，與x軸交于點(diǎn)D（2，0），與y軸交于點(diǎn)F（0，2），
∴可求出M（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），
則xy=n=-$\frac{5}{4}$，
則-$\frac{5}{4}$＜n＜0．
綜上，當(dāng)-$\frac{5}{4}$＜n＜0或0＜n＜1時(shí)，反比例函數(shù)G₂的圖象與直線l有兩個(gè)公共點(diǎn)M，N，且DM+DN＜3 $\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)以及根的判別式等知識(shí)，利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．