Question

14．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線交BC于E，交DC的延長(zhǎng)線于F，BG⊥AE于G，BG=4$\sqrt{2}$，求：
（1）AE的長(zhǎng)；    
（2）△EFC的面積．

Answer 1

分析 （1）由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得內(nèi)錯(cuò)角∠DAE=∠BEA，等量代換后可證得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的長(zhǎng)；
（2）首先證明△ABE∽△FCE，再分別求出△ABE的面積，然后根據(jù)面積比等于相似比的平方即可得到答案．

解答 解：（1）
∵在?ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，
∴∠BAF=∠DAF，
∵AB∥DF，AD∥BC，
∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=6，AD=DF=9，
∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，
在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4$\sqrt{2}$，
∴AG=$\sqrt{A{B}^{2}-B{G}^{2}}$=2，
∴AE=2AG=4；
（2）∵AE=2AG=4，
∴△ABE的面積等于8$\sqrt{2}$，
∵DF∥AB，
∴△CEF∽△BEA，相似比為1：2，
∴△CEF的面積為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)的掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想的考查，難度適中．