Question

1．已知：正方形ABCD，AB=$\sqrt{2}$，點(diǎn)P滿足PD=1，且∠BPD=90°，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BP，垂足為點(diǎn)M，則AM的長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

Answer 1

分析 分類討論：當(dāng)BP和BA在BD同旁，如圖1，BP交AD于E，先證明Rt△ABE∽R(shí)t△PDE，利用相似比得到BE=$\sqrt{2}$DE，設(shè)DE=x，則BE=$\sqrt{2}$x，AE=$\sqrt{2}$-x，再在Rt△ABE中利用勾股定理得到（$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{2}$-x）²=（$\sqrt{2}$x）²，解得x=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，則AE=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，BE=2$\sqrt{3}$-2，然后利用面積法求AM；當(dāng)BP和BA在BD兩旁，如圖2，BP交CD于E，同樣可證Rt△BCE∽R(shí)t△DPE得到BE=$\sqrt{2}$DE，設(shè)DE=x，則BE=$\sqrt{2}$x，CE=$\sqrt{2}$-x，在Rt△BCE中，利用勾股定理得到（$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{2}$-x）²=（$\sqrt{2}$x）²，解得x=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，則BE=2$\sqrt{3}$-2，再證明Rt△ABM∽R(shí)t△BEC，然后利用相似比可計(jì)算出AM．

解答 解：當(dāng)BP和BA在BD同旁，如圖1，BP交AD于E，
∵∠AEB=∠PED，
∴Rt△ABE∽R(shí)t△PDE，
∴$\frac{BE}{DE}$=$\frac{AB}{PD}$=$\frac{\sqrt{2}}{1}$，
∴BE=$\sqrt{2}$DE，
設(shè)DE=x，則BE=$\sqrt{2}$x，AE=$\sqrt{2}$-x，
在Rt△ABE中，（$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{2}$-x）²=（$\sqrt{2}$x）²，解得x=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
∴AE=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，BE=2$\sqrt{3}$-2，
∵$\frac{1}{2}$AM•BE=$\frac{1}{2}$AB•AE，
∴AM=$\frac{\sqrt{2}（2\sqrt{2}-\sqrt{6}）}{2\sqrt{3}-2}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$；
當(dāng)BP和BA在BD兩旁，如圖2，BP交CD于E，同樣可證Rt△BCE∽R(shí)t△DPE得到BE=$\sqrt{2}$DE，
設(shè)DE=x，則BE=$\sqrt{2}$x，CE=$\sqrt{2}$-x，
在Rt△BCE中，（$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{2}$-x）²=（$\sqrt{2}$x）²，解得x=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
∴BE=2$\sqrt{3}$-2，
∵∠CBE=∠BAM，
∴Rt△ABM∽R(shí)t△BEC，
∴$\frac{AM}{BC}$=$\frac{AB}{BE}$，即$\frac{AM}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}-2}$，
∴AM=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
綜上所述，AM的長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
故答案為$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．