Question

16．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC時(shí)        
（1）若CE⊥BD于E，
①∠ECD=22.5°；
②求證：BD=2EC；
（2）如圖，點(diǎn)P是射線BA上A點(diǎn)右邊一動(dòng)點(diǎn)，以CP為斜邊作等腰直角△CPF，其中∠F=90°，點(diǎn)Q為∠FPC與∠PFC的角平分線的交點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q是否一定在射線BD上？若在，請證明，若不在；請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①先運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理，得出∠ABD=∠ECD，再根據(jù)∠ABD=22.5°，得到∠ECD=22.5°；②延長CE交BA的延長線于點(diǎn)G，通過判定△ABD≌△ACG，得出BD=CG=2CE即可；
（2）連接CQ，過點(diǎn)Q作QM⊥BP于M，作QN⊥BC于N，在等腰直角△CPF中，求得∠QCP=∠QPC=22.5°，進(jìn)而得出△PQC中，∠PQC=135°；在四邊形QNBM中，根據(jù)QM⊥BP，QN⊥BC，∠ABC=45°，得到∠MQN=135°，進(jìn)而得到∠NQC=∠MQP，根據(jù)AAS判定△QPM≌△QCN，得出QM=QN，最后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理，得出點(diǎn)Q一定在射線BD上．

解答 解：（1）①∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∠ADB=∠CDE，
∴∠ABD=∠ECD，
又∵∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=22.5°，
∴∠ECD=22.5°；
故答案為：22.5．

②如圖，延長CE交BA的延長線于點(diǎn)G，

∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，
∴CE=GE，
在△ABD與△ACG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBA=∠ACG}\\{∠BAC=∠CAG}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACG（AAS），
∴BD=CG=2CE；

（2）點(diǎn)Q一定在射線BD上，
理由：如圖，連接CQ，過點(diǎn)Q作QM⊥BP于M，作QN⊥BC于N，

∵QF為∠PFC的角平分線，△CPF為等腰直角三角形，
∴QF為PC的垂直平分線，
∴PQ=QC，
∵Q為∠FPC與∠PFC的角平分線的交點(diǎn)，
∴CQ平分∠FCP，
∵△CPF為等腰直角三角形，
∴∠FCP=∠FPC=45°，
∴∠QCP=∠QPC=22.5°，
∴△PQC中，∠PQC=135°，
∵在四邊形QNBM中，QM⊥BP，QN⊥BC，∠ABC=45°，
∴∠MQN=135°，
∴∠MQN=∠PQC，
∴∠NQC=∠MQP，
又∵QC=QP，QM⊥BP，QN⊥BC，
∴△QPM≌△QCN（AAS），
∴QM=QN，
又∵QM⊥BP，QN⊥BC，
∴點(diǎn)Q一定在射線BD上．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角形的綜合應(yīng)用，解題時(shí)需要運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線的定義以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)．解題時(shí)注意：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上．