Question

5．在平面直角坐標系中，四邊形OBCD是正方形，且D（0，2），點E是線段OB延長線上一點，M是線段OB上一動點（不包括點O，B），作MN⊥DM，垂足為M，交∠CBE的平分線于點N．
（1）寫出點C的坐標；
（2）求證：MD=MN；
（3）連接DN交BC于點F，連接FM，將△DCF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得△DOA，線段OM、CF、MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)可以得出OB=BC=OD就可以求出點C的坐標；
（2）在OD上取一點G，使OG=OM，就可以得出DG=BM，從而得出△GDM≌△BMN，就可以得出結(jié)論；
（3）由旋轉(zhuǎn)可以得出△FCD≌△AOD，就可以得出OA=FC，∠ADM=∠CDM，進而得出△DMA≌△DMF，就可以得出AM=FM而得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形OBCD是正方形，
∴OB=BC=OD，∠DOB=∠OBC=∠C=90°．
∵D（0，2），
∴OD=2，
∴OB=BC=OD=2，
∴C（2，2）；

（2）在OD上取一點G，使OG=OM，
∴∠OGM=∠OMG=45°，
∴∠DGM=135°．
∵OD=OB，
∴OD-OG=OB-OM，
∴GD=BM．
∵MN⊥DM，
∴∠DMN=90°，
∴∠DMO+∠NMB=90°．
∵∠DMO+∠ODM=90°，
∴∠ODM=∠BMN．
∵BN平分∠CBE，
∴∠NBE=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴∠MBN=135°，
∴∠DGM=∠MBN．
在△GDM和△BMN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGM=∠MBN}\\{GD=BM}\\{∠ODM=∠BMN}\end{array}\right.$，
∴△GDM≌△BMN（ASA），
∴MD=MN；

（3）OM+CF=MF
理由：∵MD=MN，∠DMN=90°，
∴∠MDN=45°，
∴∠ODM+∠FDC=45°．
∵△DCF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得△DOA，
∴△DCF≌△DOA，
∴AO=FC，∠ADO=∠FDC，AD=FD．
∴∠ADO+∠MDO=45°，
即∠ADM=45°．
∴∠ADM=∠CDM．
在△DMA和△DMF中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=FD}\\{∠ADM=∠CDM}\\{DM=DM}\end{array}\right.$，
∴△DMA≌△DMF（SAS），
∴AM=FM．
∵AM=AO+MO，
∴AM=CF+MO，
∴OM+CF=MF．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，角平分線的性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．