Question

16．（1）發(fā)現(xiàn)問題
如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，當(dāng)△DCE旋轉(zhuǎn)至點A，D，E在同一直線上，連接BE．

填空：
①∠AEB的度數(shù)為60°；
②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為AD=BE．
（2）拓展研究
如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A，D，E三點在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之前的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）探究發(fā)現(xiàn)
圖1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋轉(zhuǎn)中當(dāng)點A，D，E在不同一直線上時，設(shè)AD與BE相交于點O，旋轉(zhuǎn)角θ（0°＜θ＜180°）嘗試在圖3中探索∠AOE的度數(shù)，直接寫出結(jié)果，不必說明理由．

Answer 1

分析 （1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)．
（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數(shù)，證出AD=BE；由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME，從而證到AE=2CH+BE．
（3）由（1）知△ACD≌△BCE，得∠CAD=∠CBE，由∠CAB=∠ABC=60°，可知∠EAB+∠ABE=120°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可知∠AOE=60°．

解答 解：（1）①如圖1，
∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE為等邊三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵點A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=120°．
∴∠BEC=120°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°．
故答案為：60°．
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
故答案為：AD=BE．
（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．
理由：如圖2，
∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE為等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°．
∵點A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°．
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM．
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
（3）如圖3，由（1）知△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠CAB=∠CBA=60°，
∴∠OAB+∠OBA=120°
∴∠AOE=180°-120°=60°，
當(dāng)△CDE繼續(xù)旋轉(zhuǎn)時，同理可得：∠AOE=120°，
綜上所述：∠AOE=60°或120°．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，考查了運用已有的知識和經(jīng)驗解決問題的能力，是體現(xiàn)新課程理念的一道好題．