Question

13．在正方形ABCD中，O是對角線的交點(diǎn)，過O作OE⊥OF，分別交AB，BC于E，F(xiàn)，若AE=4，CF=3．
（1）求證：△BOE≌△COF；
（2）求EF的長和四邊形OEBF的面積．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出OB=OC=OA=OD，∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，∠OBE=∠OCF=45°，證出∠BOE=∠COF，由ASA證明△BOE≌△COF即可；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出BE=CF=3，同理△AOE≌△BOF，得出BF=AE=4，AB=7，由勾股定理求出EF；由全等三角形的性質(zhì)得出四邊形OEBF的面積=△AOB的面積=$\frac{1}{4}$正方形ABCD的面積，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB=OC=OA=OD，∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，∠OBE=∠OCF=45°，AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BOE=∠COF}&{\;}\\{OB=OC}&{\;}\\{∠OBE=∠OCF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF（ASA）；
（2）解：∵△BOE≌△COF，
∴BE=CF=3，
同理：△AOE≌△BOF，
∴BF=AE=4，
∴AB=AE+BE=7，EF=$\sqrt{B{E}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；
∵△BOE≌△COF，△AOE≌△BOF，
∴四邊形OEBF的面積=△BOE的面積+△AOE的面積
=△AOB的面積=$\frac{1}{4}$正方形ABCD的面積
=$\frac{1}{4}$×7²=$\frac{49}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．