Question

7．如圖，已知⊙O為△ABC的外接圓，AB為⊙O直徑，點(diǎn)P為線段AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接PC，∠CAB=∠BCP，PM為∠CPB的角平分線，交AC于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N
（1）求證：PC為⊙O的切線；
（2）若∠CPB=30°，NC=3時(shí)，求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由AB是直徑，得出∠CAB+∠ABC=90°，再由∠OCB=∠ABC，∠CAB=∠BCP，得出∠OCP=90°，即可證出PC為⊙O的切線；
（2）先證明△OBC為等邊三角形，得出∠ABC=60°，∠CAB=30°，再由PM為∠CPB的角平分線，得出∠APM=15°，根據(jù)外角求出∠CMN=45°，MC=NC=3，根據(jù)勾股定理即可求出MN．

解答 （1）證明：連接OC，如圖所示：
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC，
又∵∠CAB=∠BCP，
∴∠OCB+∠BCP=90°，
即∠OCP=90°，
∴PC⊥OC，
∴PC為⊙O的切線；

（2）解：∵∠CPB=30°，
∴∠COB=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC為等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠CAB=30°，
∵PM為∠CPB的角平分線，
∴∠APM=15°，
∴∠CMN=30°+15°=45°，
∴△CMN為等腰直角三角形，
∴MC=NC=3，
∴MN=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定、勾股定理；熟練掌握切線的判定定理，并能進(jìn)行有關(guān)推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．