Question

2．二次函數(shù)y=-x²+2x+m的圖象與x軸交于A、B兩點（B在A右側(cè)），頂點為C，且A、B兩點間的距離等于點C到y(tǒng)軸的距離的2倍．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）求直線BC的解析式．
（3）若點P在拋物線的對稱軸上，且⊙P與x軸以及直線BC都相切，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）先把m當作已知條件求出點C的坐標及拋物線與x軸的交點坐標，再由A、B兩點間的距離等于點C到y(tǒng)軸的距離的2倍即可得出m的值，進而得出結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）中m的值可得出B、C兩點的坐標，利用待定系數(shù)法可得出直線BC的解析式；
（3）設(shè)點P（1，n），過點P作PD⊥BC，根據(jù)（2）中直線BC的解析式可知∠OBC的度數(shù)，故可用n表示出PC的長，進而得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+m，
∴頂點為C（1，m+1），與x軸交于A（1-$\sqrt{1+m}$，0）、B（1+$\sqrt{1+m}$，0）．
∵A、B兩點間的距離等于點C到y(tǒng)軸的距離的2倍，
∴（1-$\sqrt{1+m}$）-（1+$\sqrt{1+m}$）=2，解得m=0，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x；

（2）∵由（1）知，m=0，
∴B（2，0），C（1，1）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），則$\left\{\begin{array}{l}2k+b=0\\ k+b=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=2\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=-x+2；

（3）如圖，設(shè)點P（1，n），過點P作PD⊥BC，
∵由（2）知直線BC的解析式為y=-x+2，
∴∠AEB=45°．
∵∴PC=$\sqrt{2}$n，
∴1-n=$\sqrt{2}$n，
∴n=$\sqrt{2}$-1，
∴點P（1，$\sqrt{2}$-1）．

點評 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到二次函數(shù)與坐標軸的交點問題及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，切線的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．